Distribuição hipergeométrica Função distribuição de probabilidade para alguns valores de N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} Função distribuição acumulada para alguns valores de N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} Parâmetros N ∈ { 0 , 1 , 2 , .
.
.
} K ∈ { 0 , 1 , 2 , .
.
.
, N } n ∈ { 0 , 1 , 2 , .
.
.
, N } {\displaystyle {\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\
&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,} Suporte k ∈ { max ( 0 , n + K − N ) , .
.
.
, min ( n , K ) } {\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}}\,} f.d.p.
( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) {\displaystyle {{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}} f.d.a.
1 − ( n k + 1 ) ( N − n K − k − 1 ) ( N K ) 3 F 2 [ 1 , k + 1 − K , k + 1 − n k + 2 , N + k + 2 − K − n ; 1 ] , {\displaystyle 1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],} p F q {\displaystyle \,_{p}F_{q}} Média n K N {\displaystyle n{K \over N}} Moda ⌊ ( n + 1 ) ( K + 1 ) N + 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor } Variância n K N ( N − K ) N N − n N − 1 {\displaystyle n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}} Obliquidade ( N − 2 K ) ( N − 1 ) 1 2 ( N − 2 n ) [ n K ( N − K ) ( N − n ) ] 1 2 ( N − 2 ) {\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}} Curtose 1 n K ( N − K ) ( N − n ) ( N − 2 ) ( N − 3 ) ⋅ {\displaystyle \left.
{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.
} [ ( N − 1 ) N 2 ( N ( N + 1 ) − 6 K ( N − K ) − 6 n ( N − n ) ) + {\displaystyle {\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+} 6 n K ( N − K ) ( N − n ) ( 5 N − 6 ) ] {\displaystyle 6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}} Função Geradora de Momentos ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!} Função Característica ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e i t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}
Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve a probabilidade de k {\displaystyle k} sucessosesportebet apostan {\displaystyle n} retiradas, sem reposição, de uma população de tamanho N {\displaystyle N} que contém exatamente K {\displaystyle K} sucessos, sendo cada retirada um sucesso ou um fracasso.
Em contraste, a distribuição binomial descreve a probabilidade de k {\displaystyle k} sucessosesportebet apostan {\displaystyle n} retiradas com reposição.
Em estatística, o teste hipergeométrico usa a distribuição hipergeométrica para calcular a significância estatística de obtenção de um número específico k {\displaystyle k} de sucessos (a partir de um total de n {\displaystyle n} retiradas) a partir da população acima mencionada.
O teste é frequentemente usado para identificar quais subpopulações estão super-representadas ou sub-representadasesportebet apostaum amostra.
Por exemplo, um grupo de marketing poderia usar o teste para compreenderesportebet apostabase de consumidores ao testar um conjunto de consumidores desconhecidos para avaliar a super-representação de vários subgrupos demográficos (como mulheres ou pessoas abaixo de 30).
As seguintes condições caracterizam a distribuição hipergeométrica:
O resultado de cada retirada (os elementos da população que compõem a amostra) pode ser classificadoesportebet apostauma de duas categorias mutuamente excludentes (por exemplo, aprovação ou reprovação, empregado ou desempregado);
A probabilidade de um sucesso muda a cada retirada, conforme cada retirada diminui a população (amostragem sem reposição a partir de uma população finita).
Uma variável aleatória X {\displaystyle X} segue a distribuição hipergeométrica se a função massa de probabilidade for dada por[1]
P ( X = k ) = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) , {\displaystyle P(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},}em queN {\displaystyle N}K {\displaystyle K}n {\displaystyle n}k {\displaystyle k}
( a b ) {\displaystyle \textstyle {a \choose b}} coeficiente binomial.
A função massa de probabilidade é positiva quando max ( 0 , n + K − N ) ≤ k ≤ min ( K , n ) {\displaystyle \max(0,n+K-N)\leq k\leq \min(K,n)} .
A função massa de probabilidade satisfaz a relação de recorrência
( k + 1 ) ( N − K − ( n − k − 1 ) ) P ( X = k + 1 ) = ( K − k ) ( n − k ) P ( X = k ) {\displaystyle (k+1)(N-K-(n-k-1))P(X=k+1)=(K-k)(n-k)P(X=k)}com
P ( X = 0 ) = ( N − K n ) ( N n ) {\displaystyle P(X=0)={\frac {\binom {N-K}{n}}{\binom {N}{n}}}}
Como é de se esperar, a soma das probabilidades resultaesportebet aposta1:
∑ 0 ≤ k ≤ n ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) = 1 {\displaystyle \sum _{0\leq k\leq n}{{K \choose k}{N-K \choose n-k} \over {N \choose n}}=1}
Esta é essencialmente a identidade de Vandermonde da combinatória.
A seguinte identidade também se aplica:
( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) = ( n k ) ( N − n K − k ) ( N K ) .
{\displaystyle {{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}={{{n \choose k}{{N-n} \choose {K-k}}} \over {N \choose K}}.}
Isto segue da simetria do problema, mas isto também pode ser mostrado expressando os coeficientes binomiaisesportebet apostatermos de fatoriais e rearranjando os últimos.[2]
Aplicação e exemplo [ editar | editar código-fonte ]
A aplicação clássica da distribuição hipergeométrica é a amostragem sem reposição.
Suponha uma urna com dois tipos de bolas, vermelhas e verdes.
Defina a retirada de uma bola verde como um sucesso e a retirada de uma bola vermelha como um fracasso (o que é análogo à distribuição binomial).
Se a variável N {\displaystyle N} descrever o número de todas as bolas na urna e K {\displaystyle K} descrever o número de bolas verdes, então N − K {\displaystyle N-K} corresponde ao número de bolas vermelhas.
Neste exemplo, X {\displaystyle X} é a variável aleatória cujo valor observado é k {\displaystyle k} , o número de bolas verdes retiradas no experimento.
Esta situação é ilustrada pela seguinte tabela de contingência:
Retiradas Não retiradas Total Bolas verdes k {\displaystyle k} K − k {\displaystyle K-k} K {\displaystyle K} Bolas vermelhas n − k {\displaystyle n-k} N + k − n − K {\displaystyle N+k-n-K} N − K {\displaystyle N-K} Total n {\displaystyle n} N − n {\displaystyle N-n} N {\displaystyle N}
Agora, assuma, por exemplo, que há 5 bolas verdes e 45 bolas vermelhas na urna.
De pé ao lado da urna, você fecha seus olhos e retira 10 bolas sem reposição.
Qual é a probabilidade de que exatamente 4 das 10 sejam verdes? Note que, apesar de estarmos observando sucessos e fracassos, os dados não são precisamente modelados pela distribuição binomial, porque a probabilidade de sucessoesportebet apostacada triagem não é a mesma, já que o tamanho da população remanescente muda conforme removemos cada bola.
O problema está resumido pela seguinte tabela de contingência:
Retiradas Não retiradas Total Bolas verdes k = 4 {\displaystyle k=4} K − k = 1 {\displaystyle K-k=1} K = 5 {\displaystyle K=5} Bolas vermelhas n − k = 6 {\displaystyle n-k=6} N + k − n − K = 39 {\displaystyle N+k-n-K=39} N − K = 45 {\displaystyle N-K=45} Total n = 10 {\displaystyle n=10} N − n = 40 {\displaystyle N-n=40} N = 50 {\displaystyle N=50}
A probabilidade de retirar exatamente k {\displaystyle k} bolas verdes pode ser calculada pela fórmula
P ( X = k ) = f ( k ; N , K , n ) = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) .
{\displaystyle P(X=k)=f(k;N,K,n)={{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}
Assim, neste exemplo, calcula-se
P ( X = 4 ) = f ( 4 ; 50 , 5 , 10 ) = ( 5 4 ) ( 45 6 ) ( 50 10 ) = 5 ⋅ 8145060 10272278170 = 0.003964583 .
.
.
.
{\displaystyle P(X=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}={5\cdot 8145060 \over 10272278170}=0.003964583\dots .}
Intuitivamente, é ainda mais improvável que todas as cinco bolas sejam verdes.
P ( X = 5 ) = f ( 5 ; 50 , 5 , 10 ) = ( 5 5 ) ( 45 5 ) ( 50 10 ) = 1 ⋅ 1221759 10272278170 = 0.0001189375 .
.
.
.
{\displaystyle P(X=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}={1\cdot 1221759 \over 10272278170}=0.0001189375\dots .}
Conforme esperado, a probabilidade de retirar cinco bolas verdes é aproximadamente 35 vezes menor do que a probabilidade de retirar 4 bolas verdes.
Outro exemplo se refere a um jogo de loteria que consisteesportebet apostaselecionar seis números de um conjunto de cem, que vão de de 00 a 99, com uma bola para cada número e sem reposição.
Em um cartão de aposta, o jogador pode escolher de 6 a 12 números.
Qual é a probabilidade de que o jogador acerte a quina, ou seja, cinco números, ao marcar 10 números no volante? Temos
N {\displaystyle N} N = 100 {\displaystyle N=100}
n {\displaystyle n} n = 6 {\displaystyle n=6}
K {\displaystyle K} K = 10 {\displaystyle K=10}
X {\displaystyle X} X = 5 {\displaystyle X=5}
P ( X = 5 | 100 , 10 , 6 ) = ( 10 5 ) ( 100 − 10 6 − 5 ) ( 100 6 ) = 252 ∗ 90 1.192.052.400 = 0 , 000019.
{\displaystyle P(X=5|100,10,6)={{{10 \choose 5}{{100-10} \choose {6-5}}} \over {100 \choose 6}}={{{252}*{90}} \over {1.192.052.400}}=0,000019.}
A probabilidade de que o jogador acerte a quina é de aproximadamente 0,000019%.
O mesmo problema pode ser resolvido de outra forma.
Pode-se pensar que a escolha aleatória é feita pelo jogador, mas que os números "premiados" já estão definidos a priori, sem que o jogador saiba.
Logo, existem dois tipos de números, os "premiados" e os "não premiados".
O jogador escolhe aleatoriamente (ou não, desde que seu critério de escolha seja independente dos números "premiados") os 10 números do seu jogo.Assim:
N {\displaystyle N} N = 100 {\displaystyle N=100}
n {\displaystyle n} n = 10 {\displaystyle n=10}
K {\displaystyle K} K = 6 {\displaystyle K=6}
X {\displaystyle X} X = 5 {\displaystyle X=5}
P ( X = 5 | 100 , 6 , 10 ) = ( 6 5 ) ( 100 − 6 10 − 5 ) ( 100 10 ) = 6 ∗ 54.891.018 17.310.309.456.440 = 0 , 000019.
{\displaystyle P(X=5|100,6,10)={{{6 \choose 5}{{100-6} \choose {10-5}}} \over {100 \choose 10}}={{{6}*{54.891.018}} \over {17.310.309.456.440}}=0,000019.}
O resultado é o mesmo.
Aplicação no Texas hold 'em [ editar | editar código-fonte ]
No pôquer Texas hold 'em, jogadores fazer a melhor mão que podem combinando duas cartasesportebet apostasuas mãos com as cinco cartas (cartas comunitárias) eventualmente distribuídas sobre a mesa.
O baralho tem 52 cartas, 13 de cada naipe.
Para este exemplo, assuma que um jogador tem duas cartas de paus na mão e há três cartas na mesa, duas das quais também são de paus.
O jogador gostaria de saber a probabilidade de que uma das duas próximas cartas a serem mostradas seja uma carta de paus para completar o flush.
Note que as chances calculadas neste exemplo assumem que nenhuma informação é conhecida sobre as cartas nas mãos dos outros jogadores.
Entretanto, jogadores de pôquer experientes podem levaresportebet apostaconta como outros jogadores fazem suas apostas ao considerar as probabilidades para cada cenário.
Estritamente falando, a abordagem ao calcular probabilidades de sucesso aqui descrita é precisaesportebet apostaum cenárioesportebet apostaque há apenas um jogador na mesa.
Em uma partida com vários jogadores, estas probabilidades podem ser ajustadas de alguma forma com base nas apostas dos oponentes.
Há quatro cartas de paus à mostra, então há nove cartas de paus ocultas.
Há cinco cartas à mostra (duas na mão e três na mesa, então há 52 − 5 = 47 {\displaystyle 52-5=47} ainda ocultas.
A probabilidade de que uma das duas próximas cartas a serem mostradas seja uma carta de paus pode ser calculada usando a hipergeométrica k = 1 {\displaystyle k=1} , n = 2 {\displaystyle n=2} , K = 9 {\displaystyle K=9} e N = 47 {\displaystyle N=47} , sendo cerca de 31,6%.
A probabilidade de que as duas próximas cartas a serem mostradas sejam duas cartas de paus pode ser calculada usando a hipergeométrica k = 2 {\displaystyle k=2} , n = 2 {\displaystyle n=2} , K = 9 {\displaystyle K=9} e N = 47 {\displaystyle N=47} , sendo cerca de 3,3%.
A probabilidade de que nenhuma das duas próximas cartas a serem mostradas seja uma carta de paus pode ser calculada usando a hipergeométrica k = 0 {\displaystyle k=0} , n = 2 {\displaystyle n=2} , K = 9 {\displaystyle K=9} e N = 47 {\displaystyle N=47} , sendo cerca de 65,0%.
Invertendo os atributos das bolas verdes e vermelhas, temos:
f ( k ; N , K , n ) = f ( n − k ; N , N − K , n ) .
{\displaystyle f(k;N,K,n)=f(n-k;N,N-K,n).}
Invertendo os atributos das bolas retiradas e não retiradas, temos:
f ( k ; N , K , n ) = f ( K − k ; N , K , N − n ) .
{\displaystyle f(k;N,K,n)=f(K-k;N,K,N-n).}
Invertendo os atributos das bolas verdes e retiradas, temos:
f ( k ; N , K , n ) = f ( k ; N , n , K ) .
{\displaystyle f(k;N,K,n)=f(k;N,n,K).}
O biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher
O teste hipergeométrico usa a distribuição hipergeométrica para medir a significância estatística da obtenção de uma amostra que consiste de um número específico de k {\displaystyle k} sucessos (dentre um total n {\displaystyle n} de retiradas) a partir de uma população de tamanho N {\displaystyle N} contendo K {\displaystyle K} sucessos.
Em um teste para a super-representação de sucessos na amostra, o valor-p hipergeométrico é calculado como a probabilidade de obter aleatoriamente k {\displaystyle k} ou mais sucessos a partir da populaçãoesportebet apostaum total n {\displaystyle n} de retiradas.
Em um teste para sub-representação, o valor-p é a probabilidade de obter aleatoriamente k {\displaystyle k} ou menos sucessos.
Relação com o teste exato de Fisher [ editar | editar código-fonte ]
O teste baseado na distribuição hipergeométrica, o teste hipergeométrico, é idêntico à versão unicaudal correspondente do teste exato de Fisher.
[3] Reciprocamente, o valor-p de um teste exato de Fisher bicaudal pode ser calculada como a soma de dois testes hipergeométricos apropriados.[4]
Ordem das retiradas [ editar | editar código-fonte ]
A probabilidade de retirar qualquer sequência de bolas brancas e pretas, a distribuição hipergeométrica, depende apenas do número de bolas brancas e pretas, não da ordemesportebet apostaque elas aparecem, isto é, é uma distribuição intercambiável.
Como resultado, a probabilidade de retirar uma bola branca na i {\displaystyle i} -ésima retirada[5]P ( W i ) = K N .
{\displaystyle P(W_{i})={\frac {K}{N}}.}
Considere X ∼ {\displaystyle X\sim } Hipergeométrica ( K , N , n ) {\displaystyle (K,N,n)} e p = K / N {\displaystyle p=K/N} .
Se n = 1 {\displaystyle n=1} X {\displaystyle X} distribuição de Bernoulli com parâmetro p {\displaystyle p}
distribuição de Bernoulli com parâmetro Considere que Y {\displaystyle Y} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} P ( X ≤ k ) ≈ P ( Y ≤ k ) {\displaystyle P(X\leq k)\approx P(Y\leq k)}
Se n {\displaystyle n} N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p}
P ( X ≤ k ) ≈ Φ ( k − n p n p ( 1 − p ) ) , {\displaystyle P(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),}
em que Φ {\displaystyle \Phi }
Se as probabilidades de retirar uma bola branca ou preta não forem iguais (por exemplo, porque bolas brancas são maiores ou mais fáceis de pegar do que as bolas pretas), então, X {\displaystyle X}
A distribuição beta-binomial é a priori conjugada para a distribuição hipergeométrica.
A tabela abaixo descreve quatro distribuição relacionadas com o número de sucessosesportebet apostauma sequência de retiradas:
Com reposições Sem reposições Dado número de retiradas Distribuição binomial Distribuição hipergeométrica Dado número de fracassos Distribuição binomial negativa Distribuição hipergeométrica negativa
Limites de cauda [ editar | editar código-fonte ]
Considere X ∼ {\displaystyle X\sim } Hipergeométrica ( K , N , n ) {\displaystyle (K,N,n)} e p = K / N {\displaystyle p=K/N} .
Então, podemos derivar os seguintes limites:[6]
Pr [ X ≤ ( p − t ) n ] ≤ e − n D ( p − t | | p ) ≤ e ( − 2 t 2 n ) Pr [ X ≥ ( p + t ) n ] ≤ e − n D ( p + t | | p ) ≤ e ( − 2 t 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p-t||p)}\leq e^{(-2t^{2}n)}\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p+t||p)}\leq e^{(-2t^{2}n)}\\\end{aligned}}\!}em que
D ( a | | b ) = a log a b + ( 1 − a ) log 1 − a 1 − b {\displaystyle D(a||b)=a\log {\frac {a}{b}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-b}}}
é a divergência de Kullback-Leibler e D ( a , b ) ≥ 2 ( a − b ) 2 {\displaystyle D(a,b)\geq 2(a-b)^{2}} é usado.[7]
Se n {\displaystyle n} for maior que N / 2 {\displaystyle N/2} , pode ser útil aplicar simetria para "inverter" os limites, o que resulta no seguinte:[7][8]
Pr [ X ≤ ( p − t ) n ] ≤ e − ( N − n ) D ( p + t n N − n | | p ) ≤ e − 2 t 2 n n N − n , Pr [ X ≥ ( p + t ) n ] ≤ e − ( N − n ) D ( p − t n N − n | | p ) ≤ e − 2 t 2 n n N − n .
{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p+{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}},\\\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p-{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}.\\\end{aligned}}\!}
Distribuição hipergeométrica multivariada [ editar | editar código-fonte ]
Distribuição hipergeométrica multivariada Parâmetros c ∈ N = { 0 , 1 , .
.
.
} {\displaystyle c\in \mathbb {N} =\lbrace 0,1,\ldots \rbrace }
( K 1 , .
.
.
, K c ) ∈ N c {\displaystyle (K_{1},\ldots ,K_{c})\in \mathbb {N} ^{c}}
N = ∑ i = 1 c K i {\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}}
n ∈ { 0 , .
.
.
, N } {\displaystyle n\in \lbrace 0,\ldots ,N\rbrace } Suporte { k ∈ Z 0 + c : ∀ i k i ≤ K i , ∑ i = 1 c k i = n } {\displaystyle \left\{\mathbf {k} \in \mathbb {Z} _{0+}^{c}\,:\,\forall i\ k_{i}\leq K_{i},\sum _{i=1}^{c}k_{i}=n\right\}} f.d.p.
∏ i = 1 c ( K i k i ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {\prod _{i=1}^{c}{\binom {K_{i}}{k_{i}}}}{\binom {N}{n}}}} Média E ( X i ) = n K i N {\displaystyle E(X_{i})={\frac {nK_{i}}{N}}} Variância Var ( X i ) = K i N ( 1 − K i N ) n N − n N − 1 {\displaystyle {\text{Var}}(X_{i})={\frac {K_{i}}{N}}\left(1-{\frac {K_{i}}{N}}\right)n{\frac {N-n}{N-1}}}
O modelo de uma urna com bolas pretas e brancas pode ser estendida ao casoesportebet apostaque há mais de duas cores de bolas.
Se houver K i {\displaystyle K_{i}} bolas de cor i {\displaystyle i} na urna e forem retiradas n {\displaystyle n} bolas aleatoriamente, sem reposição, então, o número de bolas de cada cor na amostra ( k 1 , k 2 , ...
, k c ) {\displaystyle (k_{1},k_{2},...
,k_{c})} tem distribuição hipergeométrica multivariada.
Esta tem uma relação com a distribuição multinomial igual à que a distribuição hipergeométrica tem com a distribuição binomial - a distribuição multinomial é a distribuição "com reposição" e a a distribuição hipergeométrica multivariada é a distribuição "sem reposição".
As propriedades desta distribuição são dadas na tabela adjacente,esportebet apostaque c {\displaystyle c} é o número de cores diferentes e N = ∑ i = 1 c K i {\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}} é o número total de bolas.
Suponha que uma urna contém cinco bolas pretas, dez bolas brancas e quinze bolas vermelhas.
São selecionadas seis bolas sem reposição.
A probabilidade de que sejam retiradas duas bolas de cada cor é
P ( 2 pretas, 2 brancas, 2 vermelhas ) = ( 5 2 ) ( 10 2 ) ( 15 2 ) ( 30 6 ) = 0.079575596816976.
{\displaystyle P({\text{2 pretas, 2 brancas, 2 vermelhas}})={{{5 \choose 2}{10 \choose 2}{15 \choose 2}} \over {30 \choose 6}}=0.079575596816976.}
