FÍSICA E ESPORTE
Marcelo Andrade de Filgueiras Gomes
E m 2005 se comemora não apenas o Ano Internascional da Física, mas também ♣ o Ano Internacional do Esporte e da Educação Física.
A física, como esperado, controla o que uma pessoa pode ou não ♣ fazer em termos de esportes.
Neste trabalho, discutiremos aspectos físicos fundamentais relacionados à prática esportiva.
Menos esperado é o fato de que ♣ muito da física relevante ao esporte é objeto atual de pesquisa e também fonte de controvérsias importantes.
Considerações físicas da maior ♣ relevância nessa área, tais como hipóteses de escala e de resistência dos materiais, nasceram com a própria ciência física no ♣ século XVII, como se constata no último e mais importante livro de Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a ♣ due nuove scienze, publicado em Leiden, em 1638.
A POTÊNCIA Problemas não-triviais já aparecem ao nível da potência P dissipada por ♣ um organismo vivo em repouso (potência basal).
Essa quantidade, ou taxa de perda de calor, dQ/dt, para um animal de tamanho ♣ característico L, escala com a fazer jogo na lotofácil online área total A: P - A.
Usando A-L2 e massa = M-L3, temos P - ♣ M2/3.1
Desde 1930 os fisiologistas (1) fizeram medidas precisas do dispêndio energético em animais em função da massa corporal, encontrando:
P (Watts) ♣ = 3,6M(kg)0,73 (Lei de Kleiber), 2
para quase seis décadas de variação de M.
Assim, uma pessoa de 70kg consome, em média ♣ 80Watts de potência.
Uma explicação da origem da equação 2 foi dada em 1973 por McMahon (2), assumindo as hipóteses: (i) ♣ a massa do animal é dada pela soma de massas distribuídas em partes cilíndricas de comprimento L e diâmetro d, ♣ i.e.
M-L ´ d 2, e (ii) L-d 2/3, implicando em M-d 8/3.
Por outro lado, pela Lei de Hill da potência ♣ muscular, P escala com a força muscular F, i.e.
com d 2, e daí P-d 2-M 3/4, resultado muito próximo ao ♣ encontrado experimentalmente por Kleiber.
Esta última expressão é, no entanto, diferente de 1, pois o expoente da lei de potência é ♣ 12,5% maior.
Em 1997, West, Brown e Enquist (3) apresentaram uma segunda argumentação para justificar um expoente 3/4 na lei da ♣ potência dissipada, em detrimento do expoente 2/3, como exposto na equação 1.
O modelo desses autores baseia-se na minimização da energia ♣ dissipada no transporte de nutrientes por uma rede ramificada interna de tipo fractal (o sistema vascular do animal).
Dois anos após, ♣ Banavar, Maritan e Rinaldo (4), também chegaram a P-M 3/4, mas usando hipóteses diferentes às das referências 2 e 3, ♣ a saber minimizando o volume total de nutrientes (sangue) e sem necessidade de assumir estruturas tipo-árvore para o sistema vascular.
Surpreendentemente, ♣ em 2001, Dodds, Rothman e Weitz (5) reanalisaram todos os dados experimentais disponíveis de potência basal versus massa para mamíferos ♣ e pássaros, bem como revisaram todas as justificativas teóricas que fornecem o expoente 3/4 na equação 2, chegando à conclusão ♣ de que existe pouca evidência, de fato, para se rejeitar a equação 1.
Segundo eles, a lei de escala da potência ♣ basal pode ser complexa mas, se tal lei existir num amplo intervalo de variação de massa, terá pouca chance de ♣ que o expoente seja 3/4.
A potência basal é controlada por três constantes físicas fundamentais: a constante de Boltzmann, k B ♣ , a constante de Planck, h e a velocidade da luz no vácuo, c.
Para justificar isso, basta lembrar que o ♣ corpo humano funciona como uma fonte de calor à temperatura fisiológica de aproximadamente T f =309K.
Supondo esse corpo mergulhado no ♣ meio ambiente à temperatura T, haverá um fluxo de calor, do corpo para o meio ambiente se TT f , sendo que a primeira situação em geral prevalece.
A taxa com que o ♣ calor ou a energia flui do corpo para o ambiente, dE/dt, é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann (6):
dE/dt = b ♣ x e x A ´ (T f 4 T 4), 3
onde a constante de Stefan-Boltzmann, b=2 p 5k B ♣ 4/15h3c2 vale 5,7 ´ 10-8Wm-2K -4; e é a emissividade e A é a área que emite radiação.
Para um adulto ♣ humano, A » (1,4±0,2)m2, de tal sorte que a equação 3 nos dá, com e =1 e T=300 K, dE/dt ♣ » (80± 10)W, em concordância com a equação 2.
Ao multiplicarmos este valor pelo número de segundos em um dia, achamos ♣ (1650±200)Cal (1Cal=1000cal) para a energia mínima necessária à sobrevivência de um adulto, i.e.
para repor apenas as perdas por radiação.
Esta quantidade ♣ se constitui na maior fração de nosso consumo energético diário; ou seja, temos um baixo rendimento termodinâmico.
Os adultos podem dispor ♣ de potências bem maiores do que 80W mas, em geral, quanto maior a potência numa atividade, menor será o tempo ♣ de que dispomos para empregá-la; assim, uma pessoa bem condicionada poderá dispor de 1,09HP (802W) durante 1 minuto, e de ♣ uma potência de 1,87HP (1375W) durante 10 segundos.
Uma das taxas fisiológicas mais importantes é a potência específica máxima disponível a ♣ um ser humano; esta vale j = 41,56 W/kg=0,0565HP/kg; ou seja, 3,9HP para uma pessoa de 70kg (7).
Tal nível de ♣ potência só pode ser mantido pelo tempo de cerca de um segundo, podendo levar à morte uma pessoa não-preparada.
Essa potência-limite ♣ é usada na largada das corridas de 100m e 200 m rasos, e no momento do arranque nas provas de ♣ levantamento de peso, nas quais o levantador tem um tempo da ordem de 1 segundo para levantar uma massa tipicamente ♣ de 140kg a uma altura acima de fazer jogo na lotofácil online cabeça com os braços esticados.
A CORRIDA Ao andar, cada pé toca o ♣ chão por cerca de 40% do tempo, enquanto numa corrida a 5m/s e 9m/s esta fração cai respectivamente para 30% ♣ e 20%.
Numa corrida olímpica curta, o tamanho do passo é muito maior, alcançando tipicamente 2,4m no regime de velocidade próximo ♣ a 10m/s (8).
Enquanto no andar a velocidade escala com a raiz quadrada da altura L da pessoa (6), na corrida ♣ a velocidade máxima independe de L.
Para mostrar como isso é possível em geral; considere um mamífero de massa M que ♣ sai do repouso e atinge a velocidade máxima V após certo tempo.
A velocidade média é áuñ = V/2 e a ♣ potência média na corrida á P ñ = áuñá F ñ ; portanto, usando os argumentos do segundo parágrafo, V- ♣ á P ñ ¸á F ñ -d 2/d 2- d 0-L 0.
Para uma espécie fixa, teríamos V=K ´ L 0, ♣ com K dependente da espécie.
Se a velocidade máxima fosse crescente com L, a evolução já teria se encarregado de eliminar ♣ a variabilidade de tamanho observada dentro das espécies, privilegiando apenas os animais de maior porte.
Devemos nos lembrar, ainda, de que ♣ muitos dos melhores corredores olímpicos são de estatura relativamente baixa.
Dentre os quadrúpedes, os mamíferos chitá e gazela, os quais formam ♣ um par predador-presa, são os campeões na corrida, alcançando respectivamente velocidades máximas de 30,5m/s (110km/h) e 28m/s (101km/h).
Outros pares de ♣ predador-presa, como raposa/coelho e lobo/raposa, possuem velocidades máximas próximas, corroborando o velho ditado "Um dia é da caça e o ♣ outro do caçador".
O caso da avestruz, que alcança 23m/s (83km/h), serve como contra-exemplo para afastar a "explicação" de que o ♣ homem (V máximo » 12,5m/s ou 45km/h) corre bem menos do que muitos animais por ser bípede.
Ao longo da evolução ♣ as avestruzes, bem como todos os grandes corredores, como chitás e gazelas, transferiram para os respectivos troncos muito da massa ♣ muscular necessária para a corrida, deixando suas pernas desproporcionalmente muito mais leves do que as pernas humanas.
Animais com pernas pesadas, ♣ como o homem, pagam um alto custo energético simplesmente para colocá-las em movimento acelerado.
Atentos a esses detalhes, os treinadores dos ♣ corredores olímpicos de 100m e 200m, as provas mais rápidas de corrida, vêm realizando nas últimas décadas um verdadeiro trabalho ♣ de reengenharia muscular, cujo resultado é o de fortalecer muito a massa muscular do tronco e os ligamentos perna-tronco desses ♣ atletas.
Muitos especialistas acreditam que a barreira para o homem alcançar maiores velocidades nas provas olímpicas é mais psicológica do que ♣ fisiológica (9); segundo eles, os melhores corredores um dia poderão correr tanto quanto as avestruzes.
A velocidade média .
áuñ na ♣ corrida depende evidentemente da distância D a ser percorrida: corridas longas (curtas) têm .
áuñ menor (maior), pois os corredores ♣ conseguem manter uma velocidade máxima por tempo muito limitado.
As provas olímpicas de corrida são para oito valores de D, a ♣ saber: 100m, 200m, 400m, 800m, 1.500m, 5.000m, 10.
000m e 42195m (Maratona), cobrindo uma variabilidade de 2,625 décadas em D.
Assumindo uma ♣ força resistiva proporcional à velocidade, o matemático J.
Keller mostrou em 1973 (7), que a estratégia otimizada para vencer a corrida ♣ de 200m consiste em se alcançar a velocidade máxima, de cerca de 11m/s, em aproximadamente 3,5s, e daí em diante ♣ manter essa velocidade máxima (atualmente os corredores não conseguem manter a velocidade máxima nesse trecho).
Para os 400m, a estratégia otimizada ♣ consiste em atingir a velocidade máxima, de cerca de 9,5m/s, em pouco menos de 2,5s, e de manter essa velocidade ♣ até 0,86s antes da linha de chegada.
Nos últimos 0,86s dessa corrida, a reserva de energia do atleta deve ser essencialmente ♣ zero, e fazer jogo na lotofácil online velocidade deve cair do máximo para cerca de 6,7m/s ao terminar a prova.
Podemos observar que o estado ♣ do corredor ao final dessa prova é muito diferente daquele observado nas provas de 100m e 200m: na primeira, o ♣ corredor chega quase desabando, devido a falência energética; ao passo que nas duas últimas percebemos que os corredores poderiam correr ♣ ainda um pouco mais sem variar muito o ritmo.
Durante as provas curtas, o atleta usa, além da respiração, a reserva ♣ de oxigênio previamente armazenada nos tecidos.
Na conclusão de uma corrida de 400m, ao contrário, já não existe mais oxigênio nos ♣ tecidos.
A previsão teórica de Keller para o tempo mínimo da corrida dos 200m é de 19,25s (7), enquanto o recorde ♣ atual é 19,32s, obtido por Michael Johnson (USA), em Atlanta, 1996.
Keller também mostrou que existe uma distância crítica, D c ♣ =291m, tal que para corridas com D < D c o atleta deve atingir a velocidade máxima, e daí em ♣ diante manter essa velocidade até o final; enquanto nas corridas com D > D c , o atleta deve acelerar ♣ ao máximo por um tempo entre 1s e 2s, chegando ao final desse tempo a um regime de velocidade constante ♣ o qual deve ser mantido até 1s ou 2s antes do final da prova, quando deverá desacelerar.
Em 1997 Mureika (10) ♣ estendeu a teoria de Keller, introduzindo a perda de energia do atleta nas curvas, um aspecto importante nas corridas de ♣ 200m e 400m.
No estudo dos recordes olímpicos de corridas, foi encontrada recentemente uma lei de escala (ainda não-explicada), a qual ♣ relaciona o tempo recorde de duração da prova, t rec , com D (no intervalo 100m < D < 42.
195m) ♣ em todos os tipos de provas: t rec =A ´ D a , com a =1,11±0,01, tanto para recordes femininos ♣ (A=0,068), quanto para masculinos (A=0,057) (6, 11).
Esta lei de escala mostra que todas as estratégias completamente diferentes para se ganhar ♣ as diferentes provas de corrida vinculam-se a um mesmo princípio hierarquicamente superior.
A ACELERAÇÃO Usando a terminologia do segundo parágrafo, devemos ♣ esperar que a aceleração a disponível a um animal de tamanho L escale como: a=(F/M) - (d 2/Ld 2) = ♣ L -1.
Ou seja, quanto maior o animal, menor a aceleração.
Mamíferos como gatos e leões tem pernas muito musculosas, as quais ♣ privilegiam a aceleração no momento do bote, em detrimento da velocidade; gazelas têm pernas muito finas, as quais privilegiam a ♣ manutenção da velocidade máxima durante muito mais tempo, em detrimento simplesmente da aceleração.
Por essa razão, leões (gatos) têm, na caça, ♣ apenas alguns segundos para alcançar gazelas (ratos).
O chitá, o rei das corridas, também não consegue manter a fazer jogo na lotofácil online velocidade por ♣ muito tempo; esse animal vai do repouso a 108km/h em 3s, o que dá uma aceleração de 10m/s2, maior do ♣ que a da gravidade e a dos carros de corrida.
Comparativamente à pulga, que alcança 2m/s em apenas 0,0015s, com aceleração ♣ de 136g (12), o chitá tem uma aceleração insignificante! Nas corridas olímpicas de 100m e 200m, a arrancada inicial, fase ♣ de grande aceleração, ocupa uma grande fração do tempo total da prova: cerca de 20% do tempo total para a ♣ de 200m e 40% para a de 100m.
Assim, os músculos das pernas dos atletas que se dedicam a esses dois ♣ tipos de corridas têm uma preparação bem diferente das demais modalidades.
Corredores que aspiram medalha de ouro nas provas olímpicas de ♣ 100m e 200m devem ser capazes de acelerar a 8m/s2, no primeiro segundo após a largada; ou seja, devem dispor ♣ de uma potência específica perto do limite j =0,0565HP/kg definido no quinto parágrafo.
O PULO Pular tem grande importância no esporte ♣ e também na sobrevivência de outros animais.
No pulo vertical, o animal retrai as pernas de forma a abaixar o seu ♣ centro de massa (CM) de uma altura y.
Na hora do pulo, uma força muscular F age ao longo dessa mesma ♣ distância e produz um trabalho W=F ´ y, o qual faz com que o CM alcance, com velocidade final zero ♣ (ponto de retorno), uma altura H>y acima da posição relaxada normal, ou seja, quando o CM está a uma altura ♣ y +H acima da posição mais retraída inicial.
Conservação da energia para um animal de peso Mg leva ao trabalho feito ♣ W=F ´ y=M ´ g ´ (y+H); portanto, a altura do pulo, y+H=(F ´ y)/Mg-(d2 ´ L)/(Ld2) =d 0L0, i.e.
independe ♣ da altura do atleta, como já observado para a velocidade máxima nas corridas.
Por isso, jogadores baixos podem ser excelentes na ♣ hora de pular para cabecear, encestar ou cortar uma bola.
A maior parte dos animais realiza pulos com H>>y; gatos, por ♣ exemplo, conseguem facilmente H/y=20.
O homem é exceção: na melhor das hipóteses consegue H y.
Para o caso típico de um atleta ♣ com 70kgf, retraindo a fazer jogo na lotofácil online altura de y=0,30m e tomando H=0,60m, temos: F=Mg(y+H)/y=3Mg.
Considerando que a distensão dos músculos, e conseqüentemente ♣ F dure t=0,25s (8), temos para a potência dissipada:P=Mg(y+H)/t=2470W ou 3,4HP, praticamente o limite máximo de potência para essa pessoa.
Como ♣ corolário, nenhum atleta consegue dar dois grandes pulos em seguida.
A RESISTÊNCIA Como em todos os materiais, o módulo de compressibilidade ♣ do osso, Y, é controlado por duas constantes físicas fundamentais: a constante de Planck e a massa do elétron (13).
Tal ♣ fato e outros poucos detalhes implicam que Y para a matéria condensada esteja sempre entre 1010Pa e 1011Pa (1Pa=1Pascal=1Newton/m2).
Já o ♣ módulo de ruptura, R, em geral, é cem a mil vezes menor do que Y.
Comparativamente a outros animais, o ser ♣ humano possui os ossos mais fortes; mesmo assim, providência especial tem que ser tomada para amortecer a queda de atletas ♣ em muitas competições, como no salto com varas, onde as alturas excedem 6m acima do chão.
O osso humano mais vulnerável ♣ na queda vertical é a tíbia, cuja menor seção transversal no adulto vale s» 3cm2.
Sendo o módulo de ruptura da ♣ tíbia R=1,7 ´ 108N/m2, ela tenderá a fraturar-se quando submetida a forças maiores do que s R » 50.000N.
Duas tíbias ♣ suportam no limite F c =2 s R=105N, cerca de 130 vezes o peso de uma pessoa de 75kgf.
Assim, as ♣ duas tíbias suportam uma aceleração de até 130g no impacto vertical com o piso.
Se um atleta em queda de uma ♣ altura H amortecer o impacto, diluindo a desaceleração ao longo de uma distância y (por exemplo, flexionando as pernas), devemos ♣ ter H < F c ´ y/Peso=130y, para não haver fratura das tíbias.
Para y=1cm, como no impacto com o chão ♣ com as pernas essencialmente rígidas, uma altura H=130cm já implicará no risco de quebra das tíbias.
Noutro extremo, se a desaceleração ♣ ocorrer ao longo de y=0,6m, o limite para a queda de risco subirá para H=78m, o qual parece superestimado ♣ mas não é! Na realidade, o que ocorre é que nos saltos as desacelerações são exercidas quase que inteiramente sobre ♣ os tendões e ligamentos, os quais tem resistência à ruptura cerca de 1/20 em relação ao osso.
Isso reduz a altura ♣ máxima, H max , para colidir com o solo, a cerca de 78m/20=3,9m.
O aspecto mais perigoso nas quedas de grandes ♣ alturas se refere ao fato de o corpo humano tender a girar e a cabeça, devido ao peso, tender a ♣ colidir com o chão.
A NATAÇÃO Em meio denso como a água, o empuxo anula o peso; conseqüentemente, a velocidade máxima ♣ V, no caso da natação, não pode depender explicitamente da massa.
Diferentemente das corridas, a resistência ao meio, , é importante ♣ aqui e esperamos que V dependa da quantidade de trabalho por ciclo, W, de , além da aceleração da gravidade ♣ g, pois quanto menor g, maior a dificuldade do nadador avançar; em particular, no limite g ® 0, não pode ♣ haver natação! Se V=V(g, W, ) - g g´ W d ´ u , encontramos através de análise dimensional que ♣ g = d = - u = 1/2, ou seja: V -g1/2 ´ (W/ )1/2.
Na mecânica dos fluidos, esta é ♣ a Lei de Froude da correspondência de velocidades (14).
Tomando W=(Força muscular ´ deslocamento)-L2 ´ L e -L2, obtemos V-L1/2; ou ♣ seja, a natação privilegia atletas de maior estatura, como constatamos nas raias das piscinas.
As provas olímpicas mais rápidas de natação ♣ são as de nado livre, em cinco distâncias: 50m, 100m, 200m, 400m e 1.500m.
A velocidade média recorde nessas provas é ♣ de 2,282m/s, nos 50m, i.e.
pouco mais do dobro da velocidade no andar de um adulto.
Os tempos dos recordes olímpicos nas ♣ diversas provas de nado livre, t rec , satisfazem uma lei de escala envolvendo a extensão do percurso, D: t ♣ rec - D1,09, para 50 < D < 1500 (6).
Reexaminando este tipo de lei de escala já encontrada no caso ♣ das corridas, Savaglio e Carbone mostraram (15) que a velocidade média recorde, v rec º D/t rec , quando expressa ♣ em função de t rec apresenta claramente duas leis de escala controladas por dois expoentes críticos diferentes, os quais são ♣ interpretados como pertencendo aos regimes metabólicos de consumo de energia anaeróbico (provas curtas, com duração inferior a 150s-170s) e aeróbico ♣ (provas longas) pelos atletas.
CONCLUSÃO Em 1925, o melhor tempo nos 100m rasos foi 10,37s; hoje o recorde continua sendo o ♣ de 9,84s, obtido por Donovan Bailey (Canadá), em Atlanta: uma redução de 0,53s (5,1%) em 80 anos.
No mesmo período, para ♣ os 400m, passamos de 46,94s para os 43,49s de Michael Johnson (EUA), também em Atlanta.
Apesar de lentamente, os recordes olímpicos ♣ mudam; eles mudam como a tecnologia ligada ao esporte muda e como a tecnologia em geral muda.
Já as leis de ♣ escala discutidas aqui não mudarão, pois elas são exemplos de limitações básicas impostas pelas leis físicas.
Marcelo Andrade de Filgueiras Gomes ♣ é professor do Departamento de Física da Universidade Federal de Pernambuco(UFPE), em Recife.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS1.Kleiber, M.Hilgardia, 6, 315.1932.2.McMahon, T.Science, 179, 1201.1973.3.West, ♣ G.B., Brown,J.H.and Enquist, B.J.Science, 276, 122.1997.4.Banavar, J.R., Maritan, A.and Rinaldo, A.Nature, 399, 130.1999.5.Dodds, P.S., Rothman,D.H.and Weitz, J.S., J.theor Biol.209, 9.2001.6.Gomes, ♣ M.A.F.e Parteli, E.J.R.Rev.Bras.Ens.Fís.23 (1), 10.2001.7.Keller, J.B.Phys.Today 26 (9), 42.1973.8.Cross,R.Am.J.Phys.67, 304.1999.9.Ryder, H.W., Car, H.J.and Herget, P.Sc.Am.234 (6), 109.1976.10.Mureika, J.R.Can.J.Phys.75, 837.1997.11.Katz,J.S.and Katz,L.J.Sports ♣ Sci.17, 467.1999.12.Rothschild, M., Schlein, Y., Parker, K., Neville, C.and Sternberg, S.Sc.Am.229 (5), 92.1976.13.Weisskopf, V.F.Science 187, 605.1975.14.Thompson, D.W.On growth and Form.New ♣ York, Dover.1992.
