Blaise Pascal
A Aposta de Pascal é uma proposta argumentativa de filosofia apologética criada pelo filósofo, matemático e físico francês do 💵 século XVII Blaise Pascal.
Ela postula que há mais a ser ganho pela suposição da existência de Deus do que pela 💵 não existência de Deus, que uma pessoa racional deveria viver a ganhar dinheiro no crash vida de acordo com a perspectiva de que 💵 Deus existe, mesmo que seja impossível para a razão nos afirmar tal.
Pascal formula esta aposta de um ponto de vista 💵 cristão, e foi publicado na seção 233 do seu livro póstumo Pensées (Pensamentos).
Historicamente, foi um trabalho pioneiro no campo da 💵 teoria das probabilidades, marcou o primeiro uso formal da teoria da decisão, e antecipou filosofias futuras como o existencialismo, pragmatismo 💵 e voluntarismo.[1]
Este argumento tem o formato que se segue:[2]
se acreditar em Deus e estiver certo, terei um ganho infinito;
se acreditar 💵 em Deus e estiver errado, terei uma perda finita;
se não acreditar em Deus e estiver certo, terei um ganho finito;
se 💵 não acreditar em Deus e estiver errado, terei uma perda infinita.
Incapacidade de acreditar [ editar | editar código-fonte ]
Pascal referenciou 💵 a dificuldade que temos em diferenciar a razão e o processo de "racionalidade", pondo em contraste com a ação de 💵 genuinamente acreditar em algo, propondo que: " atuar como se [alguém) acreditasse" pode "curar (alguém) de não acreditar".
Mas ao menos 💵 reconheça ganhar dinheiro no crash incapacidade de acreditar, já que a razão te trouxe a isto, e você não consegue acreditar.
Esforce-se para convencer 💵 a si mesmo, não através de mais provas de Deus, mas pela redução de suas paixões.
Você gostaria de ter fé, 💵 mas não sabe o caminho; você quer se curar da descrença, e pede um remédio para isto.
Aprenda com aqueles que 💵 estiveram presos como você, e que agora apostam todas as suas posses.
Existem pessoas que sabem o caminho que você vai 💵 seguir, e que se curaram de todas as doenças que você ainda será curado.
Siga o caminho através do qual começamos; 💵 agindo como se acreditasse, recebendo a água benta, assistindo missas, etc.
Até mesmo isto vai te fazer acreditar naturalmente, e acabar 💵 com ganhar dinheiro no crash resistência.
[ 2 ] Tradução por Rafael S.T.
Vieira Pensées Secão III nota 233, página 40,Tradução por Rafael S.T.Vieira
Pascal propõe 💵 que se siga um caminho que ele próprio já teria passado, e que é possível se ter autêntica fé com 💵 o exercício da mesma.
Análise através da teoria da decisão [ editar | editar código-fonte ]
As possibilidades definidas pela aposta de 💵 Pascal podem ser pensadas como uma escolha em indecisão com os valores da matriz de decisão seguinte:
Deus existe (G) Deus 💵 não existe (¬G) Acreditar (B) +∞ (ganho infinito) −1 (perda finita - 1 vida) Não acreditar (¬B) −∞ (perda infinita) 💵 +1 (ganho finito - 1 vida)
Assumindo estes valores, a opção de viver como se Deus existisse (B) supera a opção 💵 de viver como se Deus não existisse (¬B),desde que se assuma a possibilidade da existência de Deus.
Noutras palavras, o valor 💵 esperado de se escolher B é maior ou igual àquele de escolher ¬B.
A perspectiva do ganho infinito é suficiente para 💵 Pascal fazer seu ponto, como ele afirma:...
Mas existe aqui uma infinidade em uma vida infinitamente feliz a se ganhar, uma 💵 chance de ganho contra um número finito de chances de perda, e aquilo que você aposta é finito.
Tudo é dividido; 💵 aonde quer que esteja o infinito, não existe um número infinito de chances de perda contra a chance de ganho, 💵 não há tempo para hesitar, você deve apostar tudo.
[ 2 ] Tradução por Rafael S.T.
Vieira Pensées Secão III nota 233, 💵 página 39,Tradução por Rafael S.T.Vieira
De fato, de acordo com teoria da decisão, o único valor que importa na matriz acima 💵 é o +∞ (infinito não negativo).
Qualquer matriz do seguinte tipo (em que f 1 , f 2 , and f 💵 3 são todos números finitos positivos ou negativos) resultam em (B) ser a única escolha racional.
[1] Jeff Jordan argumenta que 💵 a aposta também pode ser reescrita como uma tabela de decisão sem considerar os valores infinitos,[3] e segundo Edward McClenen 💵 existem, na verdade, 4 versões diferentes para o argumento em Pensées.[3]
Deus existe (G) Deus não existe (¬G) Crença (B) +∞ 💵 f 1 Descrença (¬B) f 2 f 3
As críticas à teoria de Pascal foram constantes desde a ganhar dinheiro no crash primeira publicação.
Vieram 💵 de todos os cantos religiosos, aos ateístas que questionavam os "benefícios" de uma divindade que estaria para além dos limites 💵 da razão, e dos religiosos ortodoxos que tomaram desgosto á linguagem deística e agnóstica da aposta.
É criticada por não provar 💵 a existência de Deus, encorajar a acreditarmos falsamente, e escala o problema de qual Deus seria mais favorável venerar.
Argumento do 💵 Apelo ao Medo [ editar | editar código-fonte ]
Alguns documentos na internet argumentam que é uma falácia do tipo Argumentum 💵 ad metum (ou Argumento pelo/do medo), uma vez que ela afirma que ao não se acreditar no Deus cristão, a 💵 perda infinita implicaria ser severamente punido após a morte.
[4] Embora , o argumento é sem fundamento, pois Pascal prevê que 💵 a decisão pela crença em Deus seja uma escolha baseada em chances e não motivada pelo medo.
O argumento de Pascal 💵 não tem como objetivo provar que Deus existe ou não, mas convencer o descrente que é uma escolha razoável apostar 💵 na ganhar dinheiro no crash existência.
De fato, o uso do argumento do Apelo ao Medo por críticos apenas reforça a aposta de Pascal, 💵 já que este afirma em Pensées:
Os homens desprezam a religião; eles a odeiam, e temem que ela seja verdade.
Para remediar 💵 isto, nós devemos começar por mostrar que a religião é contrária a razão; que é venerável, para inspirar respeito a 💵 ela; então devemos torná-la amável, para fazer com que bons homens esperem que seja verdade.
Finalmente, devemos provar que é verdade.
[ 💵 2 ] Tradução por Rafael S.T.
Vieira Pensées Secão III nota 187 página 31,Tradução por Rafael S.T.Vieira
Segundo Jeff Jordan[5] todo o 💵 argumento de Pascal se estrutura na forma de uma aposta, uma decisão tomada em um momento de indecisão.
Ainda segundo ele, 💵 Pascal assumia que uma pessoa, apenas pela virtude de estar neste mundo, está em uma situação de aposta, e esta 💵 aposta envolve ganhar dinheiro no crash vida sobre a existência ou não de Deus em um mundo em que Deus pode existir ou 💵 não.
Argumento do Custo [ editar | editar código-fonte ]
Outro argumento contra o argumento de Pascal, é do Custo.
A aposta tentaria 💵 nos levar a acreditar em Deus, com o pressuposto que isto é muito vantajoso você estando certo e insignificante se 💵 estiver errado.
E o preço a pagar por crer não é insignificante, pois a pessoa pode precisar seguir líderes religiosos, seguir 💵 dogmas e tradições, e contribuir financeiramente para manter a religião.
E mesmo que uma pessoa não tenha religião, mas mantenha fé 💵 na existência de algum deus, esta fé poderá ter consequências.
Pode ser citado como exemplo o caso de Steve Jobs, que 💵 era zen-budista e acreditava na ideia do pensamento mágico, e por isso, segundo seu biógrafo,[6] tomou uma decisão errada em 💵 relação ao tratamento do seu câncer que levou a ganhar dinheiro no crash morte.
[7] (contudo, existe quem afirme que muitos boatos foram criados 💵 sobre ganhar dinheiro no crash morte, e que ele recebia tratamento para ganhar dinheiro no crash doença[8]).
Outro exemplo , é da filha do ex-jogador de futebol 💵 ,Pelé, chamada Sandra Regina Machado, que se negou a receber tratamento médico, para seu câncer, pois tinha fé que ganhar dinheiro no crash 💵 cura seria milagrosa.
Seu médico afirmou que ganhar dinheiro no crash cura era garantida se ela mantivesse o tratamento, mas ganhar dinheiro no crash escolha por uma 💵 cura pel fé a levou a óbito.
[9] Bob Marley deixou de amputar seu dedo do pé com câncer devido a 💵 ganhar dinheiro no crash religião, Rastafari, pois acreditava que o corpo é um templo que ninguém pode modificar.
O câncer se espalhou e o 💵 levou a morte.[2]
O custo, contudo, de viver-se acreditando em Deus não é considerado na aposta, pois o objeto de aposta 💵 é a ganhar dinheiro no crash vida.
Quando Pascal fala em custo zero em ganhar dinheiro no crash aposta, ele se refere ao custo referente a felicidade 💵 (entre outros custos específicos que ele cita e lida) na nota 233: "E quanto a ganhar dinheiro no crash felicidade? Vamos pesar o 💵 ganho e perda em apostar que Deus existe.
Vamos estimar essas possibilidades.
Se você ganhar, você ganha tudo; se perder, você não 💵 perde nada" E ao final de seu discurso na nota 233 ainda afirma:
-Agora, que danos podem cair sobre você ao 💵 escolher seu lado?...
eu argumentaria que você irá ganhar nesta vida, e que cada passo nesta estrada, você terá cada vez 💵 mais certeza do ganho, e muito mais ainda do vazio do que você aposta, que você irá ao menos reconhecer 💵 que você apostou por algo certo e infinito, pelo qual você não precisou entregar nada.
Pensées Seção III nota 233, página 💵 40, Tradução por Rafael S.T.Vieira
O erro de Pascal neste argumento, é que não existe nenhum vestígio de que a intensidade 💵 da felicidade seja menor entre os que não acreditam na existência de Deus.
Pode-se perceber que em ganhar dinheiro no crash aposta, supõe-se que 💵 o ganho infinito de apostar em Deus supera qualquer custo que possa existir em vida.
Pascal ainda argumenta que quanto mais 💵 se dedica crer em Deus, menos se enxerga valor nos objetos do mundo, que são passageiros e portanto o custo 💵 se torna insignificante.
Argumento dos Vários Deuses [ editar | editar código-fonte ]
Um dos argumentos usados contra Pascal é a objeção 💵 dos Vários Deuses, e implica que o argumento de Pascal usa da falsa dicotomia, quando reconhece a existência de apenas 💵 duas opções, acreditar ou não no deus cristão - ignorando, porém, que existem milhares de outros sistemas de crenças a 💵 serem considerados como existentes ou não.
A crença no deus errado, de acordo com as religiões religiões do tipo monoteístas do 💵 Oriente Médio (Islã, Cristianismo, Judaísmo), é punida da pior maneira possível, segundo as escrituras religiosas destas mesmas crenças.
Outro fato que 💵 se considera, é a existência de "deuses não-documentados" com propriedades bem diferentes do que as estipuladas pelas Escrituras, também: onipresença, 💵 onisciência, onipotência, benevolência etc.
Portanto, as chances de acertar, acreditando no Deus judaico-cristão como sendo o verdadeiro, são muito menores do 💵 que o estipulado por Blaise Pascal, que é de 50%.
Se devidamente calculado a probabilidade fica próximo a 0%.
Em seu Pensée 💵 226,[10] Pascal não se aprofundou no assunto, dizendo que aqueles que argumentam sobre este ponto são céticos que se recusam 💵 a buscar a verdade e se contentam em ficar de olhos fechados.
Jeff Jordan vai além, defendendo que não há como 💵 formular a objeção dos Vários Deuses de forma a realmente refutar o argumento de Pascal.
[11] Robert Peterson argumenta que esta 💵 objeção quando colocada no contexto da Aposta de Pascal se torna vazia, pois considera apenas 5 páginas de Pensées (com 💵 a aposta) e esquece o restante das quase 300 páginas do livro (o número de páginas varia de acordo com 💵 a tradução/edição), em que Pascal defende apenas o Deus cristão e dedica um capítulo exclusivo para falar da falsidade de 💵 outras religiões.
Jeff Jordan ainda arguiu que ao se atribuir uma probabilidade quase nula a todos os outros Deuses, a probabilidade 💵 de existência de Deus continua sendo 50% e cita o caso do lançamento de uma moeda[11]:...
Quando alguém lança uma moeda 💵 considerada justa, é possível que ela aterrise em seu meio, continue suspensa no ar, desapareça, ou qualquer outro evento bizarro 💵 aconteça.
Ainda assim, como não há nenhuma razão para acreditar que esses eventos são plausíveis, nós negligenciamos todas essas possibilidades e 💵 consideramos apenas a chance da moeda aterrisar sobre o lado da cara ou o lado da coroa Jordan, Jeff.
"The Many-Gods 💵 Objection" in Gambling On God, Tradução por Rafael S.T.Vieira
Apesar de plausível e lógico, este argumento ignora o fato de que 💵 a aposta não trata de um fenômeno observável e mensurável, como o lançamento de uma moeda.
Todos os deuses e sistemas 💵 de crenças diferentes são, por ganhar dinheiro no crash natureza sobrenatural, inverificáveis, tornando desonesta esta comparação, pois a possibilidade uma moeda cair sobre 💵 o lado ou desaparecer são baixíssimas, enquanto a chance de um outro deus existir é igual a chance do deus 💵 cristão existir.
Outro aspecto importante que deve ser notado durante a leitura dos Pensées sobre as falsas religiões de Pascal é 💵 que ele não submete o cristianismo ao mesmo grau de escrutínio e ceticismo com qual trata as demais religiões.
Argumento da 💵 Crença Desonesta [ editar | editar código-fonte ]
Alguns críticos argumentam que a aposta de Pascal pode ser um argumento para 💵 a Crença Desonesta.
Além disso, seria absurdo pensar que um Deus, justo e onisciente, não seria capaz de ver atrás da 💵 estratégia da parte do "crente", portanto anulando os benefícios da aposta.[12]
Já que essas críticas não estão preocupadas com a validade 💵 da aposta em si, mas com o possível resultado - uma pessoa que foi convencida pelo argumento e que ainda 💵 não consiga acreditar sinceramente -, elas são consideradas tangenciais ao argumento.
Aquilo que estes críticos estão questionando é tratado posteriormente por 💵 Pascal que oferece um conselho para o descrente que concluiu que o único método racional é apostar na existência de 💵 Deus, já que apostar não o torna um crente.
Outros críticos arguem que Pascal ignorou que o tipo de caráter epistêmico 💵 de Deus certamente valorizaria mais criaturas racionais se ele existisse.
Mais especificamente, Richard Carrier apontou uma definição alternativa de Deus que 💵 prefere que suas criaturas sejam pesquisadoras honestas e reprova os métodos da Crença Desonesta:
Suponha que exista um Deus que está 💵 nos observando e escolhendo que almas dos mortos deve trazer para o céu, e este Deus quer que apenas aqueles 💵 que são moralmente bons habitem no céu.
Ele provavelmente vai selecionar somente aqueles que fizeram um esforço significante e responsável para 💵 descobrir a verdade...
Portanto, apenas estas pessoas podem ser suficientemente morais e sinceras para merecer um lugar no paraíso - ao 💵 não ser, que Deus deseje preencher o céu com os moralmente preguiçosos, irresponsáveis ou desonestos.
The End of Pascal's Wager: Only 💵 Nontheists Go to Heaven [ 13 ]
Como já foi exibido acima, em nenhum ponto da aposta Pascal reforça a crença 💵 desonesta; Deus, sendo onisciente, não sucumbiria a um truque e, oniscientemente, recompensaria o enganador.
Ao invés disso, depois de estabelecer ganhar dinheiro no crash 💵 aposta, Pascal refere-se a uma pessoa hipotética que já pesou irracionalmente a crença em Deus através da aposta e está 💵 convencido da possibilidade, mas ainda não conseguiu acreditar.
De novo, como notado acima, Pascal oferece uma maneira de escapar do sentimento 💵 que o compele a não crer em Deus depois que a validade da aposta tenha sido firmada.
Este caminho é através 💵 da disciplina espiritual, estudo e comunidade.
Em termos práticos, portanto, o cenário alternativo em que Deus valoriza apenas a crença racional 💵 e dúvida honesta que é proposta por Carrier e outros críticos não é realmente diferente do argumento de Pascal.
Na verdade, 💵 Pascal é bastante incisivo em ganhar dinheiro no crash crítica contra pessoas que são apáticas sobre considerar o problema da existência de Deus.
Em 💵 teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados 💵 nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência de 💵 variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do 💵 próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]
O 💵 movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de 💵 falência.
Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda 💵 ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas 💵 anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do próximo 💵 evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do 💵 presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do 💵 jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.
Dobra-se 💵 a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais comum 💵 na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à ganhar dinheiro no crash simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias 💵 rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance 💵 igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, 💵 dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) 💵 de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 💵 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se ganharmos, 💵 ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda 💵 da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias 💵 de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que 💵 o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador dobrar 💵 ganhar dinheiro no crash aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de 💵 um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a 💵 possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo 💵 certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a 💵 quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem 💵 matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode 💵 ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul 💵 Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por 💵 Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph 💵 Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição básica 💵 de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) 💵 X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n 💵 {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( X 💵 n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots 💵 ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]
Sequências 💵 martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 💵 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 💵 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) < 💵 ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X 💵 n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação 💵 ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t 💵 {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( Y 💵 t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle \mathbf 💵 {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer 💵 observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual 💵 à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo estocástico 💵 Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração 💵 Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade 💵 subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ 💵 {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau 💵 }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t 💵 , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + ∞ ; 💵 {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s
E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) = 💵 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento 💵 F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ s 💵 ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]
É 💵 importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os 💵 valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não em 💵 relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo de 💵 Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]
Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de 💵 dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com 💵 que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.
A cada iteração, uma 💵 bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.
Para qualquer cor dada, a fração das 💵 bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que 💵 a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato 💵 de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número 💵 de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi jogada 💵 Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n 💵 = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for 💵 jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
No caso de um martingale de Moivre, suponha que a 💵 moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n + 💵 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}
Y n = ( q 💵 / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} 💵 {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ Y 💵 n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ] = p ( q / p ) X 💵 n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / p 💵 ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p ) 💵 X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X n 💵 = ( q / p ) X n = Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de verossimilhança 💵 em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...
, 💵 X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}
Y n = ∏ i = 1 n g 💵 ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g 💵 {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n 💵 : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que uma ameba se divide em duas amebas 💵 com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 💵 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então
{ r X n : 💵 n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é um martingale em relação a { X 💵 n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma série martingale criada por software.
Em uma comunidade 💵 ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número 💵 de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como 💵 uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { N 💵 t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N 💵 t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ 💵 editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação atual 💵 X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 💵 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à 💵 expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo 💵 das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ 💵 : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq 💵 t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} 💵 , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.
Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle 💵 W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também 💵 é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , .
.
.
💵 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n 💵 ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 💵 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle 💵 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 💵 ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 💵 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, um 💵 supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n ] 💵 ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X 💵 t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau 💵 }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 💵 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} 💵 E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e supermartingales 💵 [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto 💵 um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e 💵 perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com 💵 probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 💵 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela 💵 desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o 💵 que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada [ 💵 editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 💵 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que 💵 para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} 💵 depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .
A 💵 intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até 💵 o momento e dizer se é hora de parar.
Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que um 💵 apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode 💵 deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base 💵 no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas 💵 que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t 💵 + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico 💵 do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo 💵 acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma das 💵 propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e 💵 τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t 💵 > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau 💵 }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, 💵 por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em 💵 um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
