NOTAS E COMENTÁRIOS
Loteria esportiva - uma aplicação de teoria da decisão
Paulo Henrique Soto Costa
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro1.INTRODUÇÃO
A 9️⃣ loteria esportiva é um jogo de grande importância no Brasil.
Ela exerce um imenso fascínio sobre o brasileiro e arrecada atualmente 9️⃣ cerca de Cr$ 400 milhões por semana.
Este fascínio pode ser explicado por muitos fatores, entre os quais podemos citar:
a) o 9️⃣ fato de ela ser um jogo que envolve futebol, que, por si, já fascina o brasileiro;
b) a ilusão, de que 9️⃣ o sucesso depende do apostador: quando ele perde, a culpa é dele, que não soube marcar o cartão;
c) a ilusão 9️⃣ dos grandes prêmios em jogo: com apenas Cr$ 10,00, o apostador pode ganhar Cr$ 100 milhões.
Neste artigo pretendemos estudar o 9️⃣ problema da loteria esportiva como um problema de teoria da decisão, sugerindo uma estratégia racional para o apostador, que torne 9️⃣ o jogo mais favorável para ele.2.
ANÁLISE DE ALGUMAS ESTRATÉGIAS COMUNS
Vamos definir palpite do apostador como sendo jogo casino ganhar dinheiro escolha de uma 9️⃣ entre as três possibilidades que ele tem em um jogo: coluna um, coluna do meio e coluna dois.
Vamos definir aposta 9️⃣ do apostador em um teste da loteria esportiva como sendo um conjunto de 13 palpites, um para cada jogo.
Para simplicidade 9️⃣ de exposição, vamos supor que fosse possível fazer apenas uma aposta em um teste; assim, supomos que o apostador possa 9️⃣ marcar uma aposta em um cartão (sem palpites duplos ou triplos) e pagar Cr$ 5,00 (atualmente) por esta aposta.
Caso deseje 9️⃣ apostar mais, ele poderá fazer outras apostas, no mesmo cartão (através de palpites duplos e triplos) ou não.
Assim, nossa unidade 9️⃣ de trabalho é a aposta e não o cartão.
É comum encontrarmos apostadores com os mais diferentes métodos de apostar, entre 9️⃣ os quais podemos citar:1.
Estragégia A: marcar o cartão aleatoriamente, ou segundo um esquema preestabelecido, mas sem saber quais são os 9️⃣ jogos.2.
Estratégia B: escolher o palpite de cada jogo de acordo com o que se supõe ser o resultado mais provável 9️⃣ do jogo.3.
Estratégia C: escolher, para alguns jogos, o palpite correspondente ao resultado mais provável, e, para os outros, o menos 9️⃣ provável.
Entre os parâmetros fundamentais da teoria da decisão, podemos citar:
a) as conseqüências monetárias de uma decisão, que são as quantias 9️⃣ que se pode ganhar ou perder em função desta decisão;
b) as probabilidades associadas a essas conseqüências.
No caso específico de loteria 9️⃣ esportiva, será necessário estimar a probabilidade de uma aposta ser vencedora (fazer 13 pontos), e também o prêmio que cabe 9️⃣ a uma aposta, caso ela seja vencedora (função do número de apostas vencedoras do teste).
Analisando as três estratégias, temos:1.
Estratégia A: 9️⃣ neste caso, já que há ausência total de informação sobre os jogos, a probabilidade de a aposta ser vencedora é 9️⃣ π = 1/1.594.
323 , já que existem 1.594.
323 resultados possíveis para o teste.
O número de apostas vencedoras do teste, n, 9️⃣ será 1/1.594.
323 vezes o número total de apostas feitas no teste, N, ou seja:
Chamando de p o preço de uma 9️⃣ aposta (atualmente p = 5), e de f a fração da arrecadação que é distribuída entre os acertadores (atualmente f 9️⃣ = 0,3150), o "rateio" de um teste, r, que é o dinheiro total a ser distribuído entre os acertadores, é 9️⃣ dado por:r = f P N
E o prêmio da nossa aposta será:1,S94 323
p = f P N x = f 9️⃣ P x 1.594.323
Substituindo /e p pelos valores:p = 0,3150 x 5 x 1.594.323 = Cr$ 2.511.058,73
Ou seja, apostando segundo esta 9️⃣ estratégia temos, para uma aposta, probabilidade π = 1/1.594.
323 de ganhar prêmio p = Cr$ 2.511.
058,73, o que corresponde a 9️⃣ um valor esperadoE = π P = 2.511.058,73/1.594.323 = Cr$ 1,58
Isto significa que pagamos Cr$ 5,00 por uma aposta de 9️⃣ valor esperado bem menor.
Devemos notar que, para esta estratégia, como seria de se esperar, a razão entre o valor esperado 9️⃣ do prêmio e o preço da aposta é igual a f a fração da arrecadação que é distribuída entre os 9️⃣ acertadores:= 0,315 = f2.
Estratégia B: Como a maioria dos apostadores tem o objetivo de "ganhar a loteria", sem se importar 9️⃣ com o prêmio, esta estratégia corresponde ao comportamento da maioria.
Comparada à estratégia anterior, esta apresenta maior probabilidade de fazer os 9️⃣ 13 pontos (aumenta π) e também maior número de apostas vencendo o teste (aumenta n), conseqüentemente apresenta prêmio menor (diminui 9️⃣ P).
Em termos de valor esperado, E = π P, o aumento de π é relativamente menor que a diminuição de 9️⃣ P, e o valor esperado do prêmio é menor ainda que o da estratégia A.
Em outras palavras, a pessoa que 9️⃣ estuda os jogos da loteria esportiva e procura apostar nos favoritos está apostando pior (em termos de valor esperado) que 9️⃣ alguém que nunca ouviu falar em futebol.
Nas próximas páginas discutiremos melhor este ponto.3.
Estratégia C: Com base no que foi dito 9️⃣ acima, esta terceira estratégia seria a melhor, entre as três apresentadas: o apostador deve estudar os jogos e descobrir os 9️⃣ favoritos, mas não deve apostar neles ou, pelo menos, não em todos eles.
A explicação mais simples para este procedimento aparentemente 9️⃣ ilógico é que, sendo a loteria esportiva um jogo muito desfavorável ao apostador, a única maneira que ele dispõe para 9️⃣ tentar jogar melhor é jogar contra os demais apostadores, procurar fazer o contrário do que eles estão fazendo.
Comparada à estratégia 9️⃣ A, esta apresenta menor probabilidade de ser vencedora (menor π) mas, se vencedora, apresenta prêmio mais alto (maior P).
Em termos 9️⃣ de valor esperado, a diminuição de π é mais que compensada pelo aumento de P, resultando um valor esperado mais 9️⃣ alto.3.O EQUACIONAMENTO3.1 Probabilidade
Estamos interessados em determinar qual a probabilidade de uma aposta fazer 13 pontos na loteria esportiva, conhecidas as 9️⃣ probabilidades dos resultados possíveis em cada um dos 13 pontos.
Assim, chamaremos de c ij a probabilidade de resultado i no 9️⃣ jogo j, e também:i = 1 coluna um
i = 2 coluna do meioi = 3 coluna doisCom j (1, 2, 9️⃣ ...,13)
Evidentemente, para cada valor de j:ij= i
Supondo que os resultados dos jogos são independentes, a probabilidade de uma aposta ser 9️⃣ vencedora é o produto das probabilidades de acertar os 13 palpites que compõem a aposta.
Por exemplo, a probabilidade de fazer 9️⃣ 13 pontos com a aposta abaixo:é dada por:π = c 1,1 .c 1,2 .c 2,3 .c 3,4 .c 2,5 .c 9️⃣ 3,6 .c 2,7 .c 1,8 .c 1,9 .c 1,10 .c 2,11 .c 2,12 .c 3,133.2 Prêmio
Agora estamos interessados em determinar 9️⃣ qual o prêmio que caberá a uma aposta, se ela for vencedora.
Este prêmio é dado por:P =
onde supomos conhecidos f, 9️⃣ p, N.
Resta então determinar n, número de apostas que fazem 13 pontos no teste, dados os resultados dos jogos.
Para fazer 9️⃣ isto, vamos supor conhecida a forma como se distribuem os palpites por jogo.
Então chamaremos de d ij a "demanda" pelo 9️⃣ resultado i no jogo j; esta demanda vem a ser a relação entre o número de apostas com palpite i 9️⃣ no jogo j e o número total de apostas.
Exemplificando, imaginemos que, num certo teste, tivéssemos um total de 80 milhões 9️⃣ de apostas, e que no jogo 4 (por exemplo Flamengo x São Cristóvão) tivéssemos 64 milhões de palpites na coluna 9️⃣ um, 12,8 milhões na coluna do meio e 3,2 milhões na coluna dois.
Neste caso, teríamos:d 1,4 = = 0,80d 2,4 9️⃣ = = 0,16d 3,4 = = 0,04
Supondo que as demandas pelos resultados de um jogo são independentes das dos outros 9️⃣ jogos, o número de apostas que vencem o teste, dados os resultados dos jogos, é igual ao.
produto do número total 9️⃣ de apostas (N) pelo produto das 13 demandas pelos resultados dos jogos (D).
Assim, se os resultados dos jogos fossem aqueles 9️⃣ da aposta mostrada em 3.
1, o número de apostas com 13 pontos seria:D = d 1,1 .d 1,2 .d 2,3 9️⃣ .d 3,4 .d 2,5 .d 3,6 .d 2,7 .d 1,8 .d 1,9 .d 1,10 .d 2,11 .d 2,12 .d 3,13
Podemos 9️⃣ agora calcular o prêmio:p =
Cabe observar que P independe de N e que o produto f .
p é uma constante 9️⃣ estabelecida pela administração da loteria esportiva (atualmente f .p = 1,575).
Concluímos então que o prêmio de uma aposta depende apenas 9️⃣ das demandas, estando entretanto sujeito à restrição p < r, pois P > r significaria número de acertadores menor que 9️⃣ 1.4.ESTRATÉGIA PROPOSTA
Já que podemos determinar a probabilidade de fazer 13 pontos com uma aposta, e também prêmio correspondente, podemos então 9️⃣ formular o problema do apostador como uma árvore de decisão, composta de apenas um ponto de decisão, de onde partem 9️⃣ 1.594.
323 ramos, cada um correspondente a uma possível aposta, conforme a figura 1.
Este problema seria facilmente resolvido se conhecêssemos a 9️⃣ função de utilidade do apostador para este tipo de jogo: escolheríamos a aposta de maior utilidade esperada ou, caso o 9️⃣ apostador desejasse escolher n apostas (despendendo uma quantia n .
p) escolheríamos as n apostas de maior utilidade esperada.
Entretanto, convém ressaltar 9️⃣ que a loteria esportiva é um jogo bastante específico, função dos altos prêmios e baixas probabilidades envolvidas.
Assim, fica difícil explicitar 9️⃣ as preferências do apostador com perguntas do tipo: "Você prefere ganhar Cr$ 10 milhões com probabilidade de 1 em 1 9️⃣ milhão, ou ganhar Cr$ 50 milhões com probabilidade de 1 em 4 milhões?" Por isto preferimos abordar o problema impondo 9️⃣ restrições quanto à probabilidade e ao prêmio mínimos que uma aposta deve ter para ser jogada, ao invés de maximizar 9️⃣ a utilidade esperada.
Exemplificando, imaginemos um apostador indiferente ao risco: ele alocará a quantia que se dispõe a jogar de maneira 9️⃣ a maximizar o valor esperado.
Porém, como já foi comentado anteriormente, as apostas de maior valor esperado são as menos prováveis 9️⃣ (e de maior prêmio); então suponhamos que nosso apostador está disposto a jogar Cr$ 500 na loteria esportiva.
Ele deverá escolher 9️⃣ as 100 apostas de maior valor esperado; suponhamos que cada uma destas apostas tem π = 1/5 milhões e p 9️⃣ = Cr$ 50 milhões.
Nosso apostador tem, portanto, probabilidade de 1/50 mil de ganhar Cr$ 50 milhões, com valor esperado igual 9️⃣ a Cr$ 5 mil, para um jogo de Cr$ 500,00.
Este é, sem dúvida, um jogo francamente favorável ao nosso apostador.
Outro 9️⃣ apostador, avesso ao risco, poderia discordar desta estratégia, argumentando que 1/50 mil é uma probabilidade extremamente baixa, que corresponde a 9️⃣ ganhar uma vez cada 50 mil semanas, ou seja, uma vez cada milênio.
Ele poderia preferir, por exemplo, o seguinte esquema 9️⃣ para apostar Cr$ 500,00: só interessam apostas com valor esperado maior que Cr$ 5,00 (o preço p da aposta) e 9️⃣ com prêmio maior que Cr$ 5 milhões; então deve-se escolher as 100 apostas mais prováveis (de maior π) que satisfazem 9️⃣ as restrições impostas.
Esta é a estratégia que propomos: consideramos que o apostador está preocupado com três variáveis interdependentes (prêmio, probabilidade 9️⃣ e valor esperado), consegue especificar limites mínimos para duas delas e quer maximizar a terceira.
Assim, especificados os limites mínimos para 9️⃣ duas variáveis, ele deve escolher as apostas de mais alto valor da terceira, até esgotar o orçamento disponível.
É interessante notar 9️⃣ que esta estratégia contém todas aquelas citadas anteriormente, exceto a de jogar aleatoriamente.
Podemos apostar de maneira a apenas maximizar a 9️⃣ probabilidade de ganhar, não usando as restrições de prêmio e valor esperado, ou especificando P > 0 e também E 9️⃣ > 0; se quisermos apenas maximizar valor esperado, podemos especificar P > 0 e ir > 0.
Notemos também que, quando 9️⃣ o apostador especifica as restrições que ele quer impor para seu jogo, ele o faz de acordo com jogo casino ganhar dinheiro aversão 9️⃣ ao risco, sem que seja explicitada uma função de utilidade; por exemplo, se ele estiver maximizando valor esperado ou prêmio, 9️⃣ quanto maior jogo casino ganhar dinheiro aversão ao risco, maior será o limite de probabilidade que ele especificará.
5.A APLICAÇÃO5.1 Generalidades
Com o objetivo de 9️⃣ aplicar as idéias aqui expostas, desenvolvemos programa de computador que lê as estimativas das probabilidades c ij , e das 9️⃣ demandas d ij e, ainda, as restrições do apostador; o programa lista as apostas que satisfazem as restrições e fornece 9️⃣ algumas informações complementares.
Em nossa aplicação, o orçamento do apostador é suficiente para 200 apostas por teste (atualmente Cr$ 1 mil): 9️⃣ ele é maximizador de valor esperado, mas impõe restrições de probabilidade mínima.
O máximo de pontos por teste, em 30 vezes 9️⃣ que ele usou o modelo foi:5 pontos - 2 vezes6 pontos - 2 vezes7 pontos - 6 vezes8 pontos - 9️⃣ 6 vezes9 pontos - 4 vezes10 pontos - 6 vezes11 pontos - 4 vezes
No item 6 comentaremos esses resultados.
No momento, 9️⃣ interessa discutir as dificuldades encontradas na aplicação.
Em primeiro lugar, as dificuldades de ordem prática: o tempo necessário para fazer a 9️⃣ estimativa dos dados e processá-los no computador é significativo - no mínimo 4 horas; além disso, a saída do programa 9️⃣ é uma lista de apostas (simples) que satisfazem às restrições, havendo, portanto, a necessidade de resolver o problema do palpite 9️⃣ duplo obrigatório no cartão e, resolvido este problema, aparece o trabalho de preencher muitos volantes de quantias pequenas.
De interesse mais 9️⃣ acadêmico são os problemas encontrados na estimativa de probabilidade e demanda.
5.2 Probabilidade
Não pretendemos discutir aqui a existência ou a natureza 9️⃣ das probabilidades subjetivas.
Admitimos que elas exprimam a opinião do apostador sobre as chances de cada resultado possível em um jogo.
Por 9️⃣ exemplo, se no jogo 4 (Flamengo x São Cristóvão) atribuímos:
c 1,4 = 80%; c 2,4 = 15%; c 3,4 = 9️⃣ 5%
estamos atribuindo acentuado favoritismo ao Flamengo, maior que aquele atribuído ao Coríntians no jogo 5 (Coríntians x Juventus), onde atribuímos:
c 9️⃣ 1,5 = 40%; c 2,5 = c 3,5 = 30%
Estes valores serão utilizados em equações para determinação de parâmetros que 9️⃣ deverão atender a restrições dò tipo maior ou igual (por exemplo, valor esperado > Cr$ 10,00).
Portanto é importante que as 9️⃣ probabilidades, além de representarem o grau relativo de favoritismo (num sentido ordinal, do tipo - o Flamengo é mais favorito 9️⃣ que o Coríntians), representem também o grau absoluto de favoritismo (num sentido cardinal do tipo - é duas vezes mais 9️⃣ fácil o Flamengo vencer o São Cristóvão do que o Coríntians vencer o Juventus).
5.3 Demanda
Uma tentativa de contornar as dificuldades 9️⃣ de atribuir tais probabilidades é recorrer a séries históricas - Flamengo e São Cristóvão jogaram N vezes, com M vitórias 9️⃣ do Flamengo.
Estas séries são apenas uma das fontes de informação visto que este jogo Flamengo x S.
Cristóvão é único, diferente 9️⃣ de todos que foram jogados no passado.
Devemos então procurar informações do tipo: O jogo é no campo de quem? Os 9️⃣ times estão em fase boa ou ruim? Jogam completos ou desfalcados? E assim por diante.
Estas informações, junto com a série 9️⃣ histórica - que traduziria a tradição - determinariam as probabilidades.
Sabemos que, nos jogos mais equilibrados, as probabilidades de cada um 9️⃣ dos resultados possíveis são da ordem de 1/3.
Já nos jogos menos equilibrados, não temos indicação de valores para as probabilidades.
Para 9️⃣ calibraras probabilidades atribuídas a estes jogos, temos usado um processo indireto.
Segundo amostragem que fizemos, um jogo com sete palpites triplos 9️⃣ e quatro duplos (34.
992 apostas) feito com objetivo de maximizar a probabilidade de fazer 13 pontos, vence a loteria uma 9️⃣ vez em cada quatro a cinco semanas.
Partindo desse resultado, atribuímos as probabilidades de modo a permitir que a probabilidade de 9️⃣ fazer os 13 pontos com o jogo de sete triplos e quatro duplos seja da ordem de 20 a 25%, 9️⃣ num teste normal.
Como os apostadores irão comportar-se em cada jogo? Quantos arriscarão uma zebra no jogo 4? Sem dúvida, a 9️⃣ única maneira correta de estimar as demandas por jogo é por meio de amostragem em casas lotéricas.
Alguns jornais de São 9️⃣ Paulo publicam resultados de amostragens deste tipo, mas não informam como elas foram feitas.
Em nossa aplicação não dispúnhamos de meios 9️⃣ para fazer amostragens; escolhemos, portanto, um caminho indireto.
Atribuímos valores às demandas de maneira subjetiva, de acordo com o que imaginamos 9️⃣ ser o comportamento dos apostadores.
No domingo, conhecidos os resultados dos jogos, temos condições de prever, a partir das demandas estimadas, 9️⃣ o número de acatadores do teste.
Na segunda-feira confrontamos nossa previsão com o número real de acertadores e podemos aferir a 9️⃣ posteriori nossa capacidade de estimar as demandas.
É interessante observar que as demandas publicadas nos jornais servem de base à nossa 9️⃣ estimação subjetiva, e que a previsão do número de acertadores feita com as demandas do jornal tem-se mostrado pior que 9️⃣ aquela feita usando as demandas subjetivas.
Um ponto que tem importância conceituai é a questão da independência entre as demandas de 9️⃣ jogo.
Fizemos hipótese de que exista esta independência, mas o fato é que, quando o apostador preenche o seu volante, ao 9️⃣ marcar o palpite em um jogo, ele leva em conta o que já marcou (ou vai marcar) nos outros.
Assim, imaginemos 9️⃣ um teste onde tivéssemos dois jogos desequilibrados em que, para cada um deles, a demanda pelo resultado menos provável fosse 9️⃣ 10%; ignorando os outros jogos, se em um dos dois jogos em questão ocorresse o resultado improvável, apenas 1/10 das 9️⃣ apostas acertariam.
Se no outro também ocorresse o resultado improvável teríamos, teoricamente, 1/100 das apostas acertando.
O ponto a questionar é: será 9️⃣ que realmente 10% dos que marcaram o primeiro resultado improvável marcaram também o segundo? Parece-nos que não, pois o apostador 9️⃣ que marcou o primeiro relutaria em marcar também o outro resultado improvável, pois estaria tornando jogo casino ganhar dinheiro aposta excessivamente improvável.
O mesmo 9️⃣ tipo de raciocínio faz supor que, se algum dia o resultado de um teste for, em todos os jogos, a 9️⃣ derrota do favorito, teremos dezenas de acertadores (os que jogam tudo ao contrário) ao invés de um ou nenhum.
Entretanto, por 9️⃣ falta de alternativa teórica, fizemos nossa aplicação supondo que exista aquela independência.
6.CONCLUSÃO
De tudo que foi exposto, podemos tirar algumas conclusões.
Em 9️⃣ primeiro lugar, quanto à loteria esportiva, como jogo: ela é, possivelmente, o jogo mais desfavorável ao apostador que temos no 9️⃣ Brasil, aí incluindo os jogos "fora da lei" como jogo do bicho, jogos de cassino, etc.
Se pensarmos no apostador médio, 9️⃣ que procura apostar nos favoritos, então o jogo é mais desfavorável ainda: por exemplo, no teste 438, segundo dados estimados 9️⃣ por nós, a aposta mais provável tinha probabilidade de 1/15.
831 de se tornar vencedora, e a ela corresponderia um prêmio 9️⃣ de Cr$ 9.706,15 (9.
767 acertadores), com valor esperado igual a Cr$ 0,61, correspondente a apenas 12% do preço da aposta.
Quanto 9️⃣ à estratégia aqui proposta, não acreditamos que ela seja interessante para ser aplicada por um apostador comum.
Isto porque, em primeiro 9️⃣ lugar, ela exige uso de computador e algumas horas de trabalho intelectual, para se chegar à decisão de como apostar; 9️⃣ em segundo lugar, porque dificilmente teremos lucro no curto prazo sem apostar quantias altas.
Por exemplo, em nossa aplicação, apostando Cr$ 9️⃣ 1 mil por semana, tínhamos probabilidade de 1/800 em cada teste, de ganhar cerca de Cr$ 4 milhões.
Em termos de 9️⃣ valor esperado é ótimo, mas a probabilidade de 1/800 significa ganhar uma vez em cada 16 anos.
Talvez esta fosse uma 9️⃣ boa estratégia para grupos de apostadores, que se reunisse para jogar empresariamente quantias elevadas.
Acreditamos, entretanto, que a abordagem do tema 9️⃣ loteria esportiva sob o ângulo da teoria da decisão tenha algum interesse acadêmico.
Este trabalho não tem a pretensão de esgotar 9️⃣ o assunto; pelo contrário, ele deixa em aberto .
pontos importantes, como por exemplo a aplicação de funções de utilidade e 9️⃣ a previsão do número de acertadores sem que se suponha independência entre as demandas por jogo.
