E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 5️⃣ = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 5️⃣ evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 5️⃣ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 5️⃣ ]
É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 5️⃣ os valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 5️⃣ em relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 5️⃣ de Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]
Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 5️⃣ de dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 5️⃣ com que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.
A cada iteração, 5️⃣ uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.
Para qualquer cor dada, a fração 5️⃣ das bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 5️⃣ que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 5️⃣ fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 5️⃣ número de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi 5️⃣ jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 5️⃣ n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 5️⃣ for jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
No caso de um martingale de Moivre, suponha que 5️⃣ a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n 5️⃣ + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}
Y n = ( 5️⃣ q / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 5️⃣ ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ 5️⃣ Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ] = p ( q / p ) 5️⃣ X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 5️⃣ p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 5️⃣ ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 5️⃣ n = ( q / p ) X n = Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de 5️⃣ verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 5️⃣ ...
, X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}
Y n = ∏ i = 1 n 5️⃣ g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 5️⃣ g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X 5️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que uma ameba se divide em duas 5️⃣ amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 5️⃣ = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então
{ r X n 5️⃣ : n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é um martingale em relação a { 5️⃣ X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma série martingale criada por software.
Em uma 5️⃣ comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 5️⃣ número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 5️⃣ como uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { 5️⃣ N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 5️⃣ N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 5️⃣ [ editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 5️⃣ atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 5️⃣ X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 5️⃣ à expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 5️⃣ estudo das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 5️⃣ τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 5️⃣ s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 5️⃣ f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.
Dado um processo de movimento browniano W t 5️⃣ {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 5️⃣ também é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 5️⃣ .
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X 5️⃣ n ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 5️⃣ [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 5️⃣ .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 5️⃣ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 5️⃣ {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, 5️⃣ um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n 5️⃣ ] ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 5️⃣ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle 5️⃣ {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 5️⃣ ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 5️⃣ X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e 5️⃣ supermartingales [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é 5️⃣ tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 5️⃣ e perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 5️⃣ com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 5️⃣ 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa de um martingale é um submartingale 5️⃣ pela desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 5️⃣ (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada 5️⃣ [ editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 5️⃣ X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 5️⃣ que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 5️⃣ =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 5️⃣ .
A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 5️⃣ até o momento e dizer se é hora de parar.
Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 5️⃣ um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 5️⃣ pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 5️⃣ base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 5️⃣ apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 5️⃣ t + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 5️⃣ histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 5️⃣ parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma 5️⃣ das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 5️⃣ e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 5️⃣ t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 5️⃣ X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 5️⃣ incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 5️⃣ em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de 5️⃣ jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas 5️⃣ o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o 5️⃣ qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente 5️⃣ observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]
O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode 5️⃣ modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência.
Em contraste, em um processo que não é um 5️⃣ martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo 5️⃣ seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir 5️⃣ a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de 5️⃣ todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales 5️⃣ excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É 5️⃣ também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.
Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim 5️⃣ sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à jogo de futebol que ganha dinheiro de verdade 5️⃣ simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da 5️⃣ roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": 5️⃣ fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos 5️⃣ a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 5️⃣ 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na 5️⃣ roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 5️⃣ 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino 5️⃣ [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A 5️⃣ mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e 5️⃣ perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador dobrar jogo de futebol que ganha dinheiro de verdade aposta depois de cada derrota a fim de 5️⃣ que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e 5️⃣ o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, 5️⃣ o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os 5️⃣ apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das 5️⃣ razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites 5️⃣ às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O 5️⃣ conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse 5️⃣ dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales 5️⃣ contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho 5️⃣ era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele 5️⃣ é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , 5️⃣ ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) 5️⃣ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( X n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, 5️⃣ X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, 5️⃣ dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]
Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | 5️⃣ editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um 5️⃣ martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo 5️⃣ n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( 5️⃣ Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid 5️⃣ X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um 5️⃣ processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) 5️⃣ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s 5️⃣ } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto 5️⃣ expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas 5️⃣ as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que 5️⃣ s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times 5️⃣ \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade 5️⃣ P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega 5️⃣ ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} 5️⃣ Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t 5️⃣ {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E 5️⃣ P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s 5️⃣ {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s
E P ( 5️⃣ [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} 5️⃣ em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como 5️⃣ Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} 5️⃣ que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]
É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a 5️⃣ filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} 5️⃣ seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma 5️⃣ de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | 5️⃣ editar código-fonte ]
Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um 5️⃣ apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya 5️⃣ contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.
A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por 5️⃣ várias outras da mesma cor.
Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por 5️⃣ exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e 5️⃣ não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração 5️⃣ de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle 5️⃣ X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n 5️⃣ {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle 5️⃣ \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda 5️⃣ for jogada.
No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p 5️⃣ {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} 5️⃣ com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}
Y n = ( q / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y 5️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 5️⃣ , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, 5️⃣ X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p 5️⃣ ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + 5️⃣ q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) 5️⃣ X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = 5️⃣ Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f 5️⃣ {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...
, X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y 5️⃣ n {\displaystyle Y_{n}}
Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) 5️⃣ {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 5️⃣ , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , 5️⃣ ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 5️⃣ 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} 5️⃣ p {\displaystyle p} [ 14 ] Então
{ r X n : n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
5️⃣ } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 5️⃣ , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma série martingale criada por software.
Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico 5️⃣ particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado 5️⃣ é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale 5️⃣ sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} 5️⃣ processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } 5️⃣ {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de 5️⃣ um martingale que também incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à 5️⃣ futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , 5️⃣ mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria 5️⃣ do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo 5️⃣ contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = 5️⃣ 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz 5️⃣ a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o 5️⃣ operador de Laplace.
Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , 5️⃣ o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma 5️⃣ sequência X 1 , X 2 , X 3 , .
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X 5️⃣ n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da 5️⃣ mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ 5️⃣ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em 5️⃣ teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o 5️⃣ prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 5️⃣ 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n 5️⃣ + 1 | X 1 , .
.
.
, X n ] ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma 5️⃣ forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s 5️⃣ } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria 5️⃣ do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo 5️⃣ "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 5️⃣ , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também 5️⃣ um submartingale e um supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente 5️⃣ um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que 5️⃣ a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 5️⃣ / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 5️⃣ {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de 5️⃣ um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X 5️⃣ n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em 5️⃣ relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma 5️⃣ variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou 5️⃣ a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 5️⃣ 2 , X 3 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .
A intuição por trás da definição é que, a qualquer 5️⃣ tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar.
Um 5️⃣ exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode 5️⃣ ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), 5️⃣ mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns 5️⃣ contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ 5️⃣ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle 5️⃣ X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto 5️⃣ é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em 5️⃣ algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X 5️⃣ t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, 5️⃣ então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t 5️⃣ τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de 5️⃣ um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma 5️⃣ que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor 5️⃣ inicial.
