E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 7️⃣ = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 7️⃣ evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 7️⃣ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 7️⃣ ]
É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 7️⃣ os valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 7️⃣ em relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 7️⃣ de Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]
Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 7️⃣ de dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 7️⃣ com que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.
A cada iteração, 7️⃣ uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.
Para qualquer cor dada, a fração 7️⃣ das bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 7️⃣ que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 7️⃣ fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 7️⃣ número de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi 7️⃣ jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 7️⃣ n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 7️⃣ for jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
No caso de um martingale de Moivre, suponha que 7️⃣ a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n 7️⃣ + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}
Y n = ( 7️⃣ q / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 7️⃣ ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ 7️⃣ Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ] = p ( q / p ) 7️⃣ X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 7️⃣ p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 7️⃣ ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 7️⃣ n = ( q / p ) X n = Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de 7️⃣ verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 7️⃣ ...
, X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}
Y n = ∏ i = 1 n 7️⃣ g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 7️⃣ g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X 7️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que uma ameba se divide em duas 7️⃣ amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 7️⃣ = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então
{ r X n 7️⃣ : n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é um martingale em relação a { 7️⃣ X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma série martingale criada por software.
Em uma 7️⃣ comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 7️⃣ número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 7️⃣ como uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { 7️⃣ N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 7️⃣ N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 7️⃣ [ editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 7️⃣ atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 7️⃣ X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 7️⃣ à expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 7️⃣ estudo das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 7️⃣ τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 7️⃣ s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 7️⃣ f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.
Dado um processo de movimento browniano W t 7️⃣ {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 7️⃣ também é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 7️⃣ .
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X 7️⃣ n ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 7️⃣ [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 7️⃣ .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 7️⃣ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 7️⃣ {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, 7️⃣ um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n 7️⃣ ] ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 7️⃣ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle 7️⃣ {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 7️⃣ ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 7️⃣ X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e 7️⃣ supermartingales [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é 7️⃣ tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 7️⃣ e perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 7️⃣ com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 7️⃣ 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa de um martingale é um submartingale 7️⃣ pela desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 7️⃣ (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada 7️⃣ [ editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 7️⃣ X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 7️⃣ que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 7️⃣ =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 7️⃣ .
A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 7️⃣ até o momento e dizer se é hora de parar.
Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 7️⃣ um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 7️⃣ pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 7️⃣ base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 7️⃣ apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 7️⃣ t + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 7️⃣ histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 7️⃣ parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma 7️⃣ das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 7️⃣ e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 7️⃣ t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 7️⃣ X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 7️⃣ incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 7️⃣ em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de 7️⃣ jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas 7️⃣ o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o 7️⃣ qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente 7️⃣ observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]
O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode 7️⃣ modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência.
Em contraste, em um processo que não é um 7️⃣ martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo 7️⃣ seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir 7️⃣ a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de 7️⃣ todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales 7️⃣ excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É 7️⃣ também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.
Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim 7️⃣ sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à jogo de ganhar dinheiro verdadeiro 7️⃣ simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da 7️⃣ roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": 7️⃣ fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos 7️⃣ a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 7️⃣ 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na 7️⃣ roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 7️⃣ 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino 7️⃣ [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A 7️⃣ mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e 7️⃣ perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador dobrar jogo de ganhar dinheiro verdadeiro aposta depois de cada derrota a fim de 7️⃣ que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e 7️⃣ o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, 7️⃣ o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os 7️⃣ apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das 7️⃣ razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites 7️⃣ às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O 7️⃣ conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse 7️⃣ dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales 7️⃣ contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho 7️⃣ era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele 7️⃣ é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , 7️⃣ ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) 7️⃣ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( X n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, 7️⃣ X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, 7️⃣ dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]
Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | 7️⃣ editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um 7️⃣ martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo 7️⃣ n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( 7️⃣ Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid 7️⃣ X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um 7️⃣ processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) 7️⃣ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s 7️⃣ } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto 7️⃣ expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas 7️⃣ as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que 7️⃣ s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times 7️⃣ \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade 7️⃣ P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega 7️⃣ ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} 7️⃣ Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t 7️⃣ {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E 7️⃣ P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s 7️⃣ {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s
E P ( 7️⃣ [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} 7️⃣ em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como 7️⃣ Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} 7️⃣ que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]
É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a 7️⃣ filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} 7️⃣ seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma 7️⃣ de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | 7️⃣ editar código-fonte ]
Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um 7️⃣ apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya 7️⃣ contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.
A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por 7️⃣ várias outras da mesma cor.
Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por 7️⃣ exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e 7️⃣ não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração 7️⃣ de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle 7️⃣ X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n 7️⃣ {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle 7️⃣ \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda 7️⃣ for jogada.
No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p 7️⃣ {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} 7️⃣ com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}
Y n = ( q / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y 7️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 7️⃣ , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, 7️⃣ X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p 7️⃣ ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + 7️⃣ q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) 7️⃣ X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = 7️⃣ Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f 7️⃣ {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...
, X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y 7️⃣ n {\displaystyle Y_{n}}
Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) 7️⃣ {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 7️⃣ , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , 7️⃣ ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 7️⃣ 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} 7️⃣ p {\displaystyle p} [ 14 ] Então
{ r X n : n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
7️⃣ } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 7️⃣ , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma série martingale criada por software.
Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico 7️⃣ particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado 7️⃣ é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale 7️⃣ sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} 7️⃣ processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } 7️⃣ {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de 7️⃣ um martingale que também incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à 7️⃣ futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , 7️⃣ mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria 7️⃣ do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo 7️⃣ contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = 7️⃣ 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz 7️⃣ a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o 7️⃣ operador de Laplace.
Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , 7️⃣ o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma 7️⃣ sequência X 1 , X 2 , X 3 , .
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X 7️⃣ n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da 7️⃣ mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ 7️⃣ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em 7️⃣ teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o 7️⃣ prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 7️⃣ 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n 7️⃣ + 1 | X 1 , .
.
.
, X n ] ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma 7️⃣ forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s 7️⃣ } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria 7️⃣ do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo 7️⃣ "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 7️⃣ , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também 7️⃣ um submartingale e um supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente 7️⃣ um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que 7️⃣ a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 7️⃣ / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 7️⃣ {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de 7️⃣ um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X 7️⃣ n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em 7️⃣ relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma 7️⃣ variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou 7️⃣ a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 7️⃣ 2 , X 3 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .
A intuição por trás da definição é que, a qualquer 7️⃣ tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar.
Um 7️⃣ exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode 7️⃣ ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), 7️⃣ mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns 7️⃣ contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ 7️⃣ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle 7️⃣ X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto 7️⃣ é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em 7️⃣ algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X 7️⃣ t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, 7️⃣ então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t 7️⃣ τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de 7️⃣ um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma 7️⃣ que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor 7️⃣ inicial.
