Blaise Pascal
A Aposta de Pascal é uma proposta argumentativa de filosofia apologética criada pelo filósofo, matemático e físico francês do 2️⃣ século XVII Blaise Pascal.
Ela postula que há mais a ser ganho pela suposição da existência de Deus do que pela 2️⃣ não existência de Deus, que uma pessoa racional deveria viver a jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix vida de acordo com a perspectiva de que 2️⃣ Deus existe, mesmo que seja impossível para a razão nos afirmar tal.
Pascal formula esta aposta de um ponto de vista 2️⃣ cristão, e foi publicado na seção 233 do seu livro póstumo Pensées (Pensamentos).
Historicamente, foi um trabalho pioneiro no campo da 2️⃣ teoria das probabilidades, marcou o primeiro uso formal da teoria da decisão, e antecipou filosofias futuras como o existencialismo, pragmatismo 2️⃣ e voluntarismo.[1]
Este argumento tem o formato que se segue:[2]
se acreditar em Deus e estiver certo, terei um ganho infinito;
se acreditar 2️⃣ em Deus e estiver errado, terei uma perda finita;
se não acreditar em Deus e estiver certo, terei um ganho finito;
se 2️⃣ não acreditar em Deus e estiver errado, terei uma perda infinita.
Incapacidade de acreditar [ editar | editar código-fonte ]
Pascal referenciou 2️⃣ a dificuldade que temos em diferenciar a razão e o processo de "racionalidade", pondo em contraste com a ação de 2️⃣ genuinamente acreditar em algo, propondo que: " atuar como se [alguém) acreditasse" pode "curar (alguém) de não acreditar".
Mas ao menos 2️⃣ reconheça jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix incapacidade de acreditar, já que a razão te trouxe a isto, e você não consegue acreditar.
Esforce-se para convencer 2️⃣ a si mesmo, não através de mais provas de Deus, mas pela redução de suas paixões.
Você gostaria de ter fé, 2️⃣ mas não sabe o caminho; você quer se curar da descrença, e pede um remédio para isto.
Aprenda com aqueles que 2️⃣ estiveram presos como você, e que agora apostam todas as suas posses.
Existem pessoas que sabem o caminho que você vai 2️⃣ seguir, e que se curaram de todas as doenças que você ainda será curado.
Siga o caminho através do qual começamos; 2️⃣ agindo como se acreditasse, recebendo a água benta, assistindo missas, etc.
Até mesmo isto vai te fazer acreditar naturalmente, e acabar 2️⃣ com jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix resistência.
[ 2 ] Tradução por Rafael S.T.
Vieira Pensées Secão III nota 233, página 40,Tradução por Rafael S.T.Vieira
Pascal propõe 2️⃣ que se siga um caminho que ele próprio já teria passado, e que é possível se ter autêntica fé com 2️⃣ o exercício da mesma.
Análise através da teoria da decisão [ editar | editar código-fonte ]
As possibilidades definidas pela aposta de 2️⃣ Pascal podem ser pensadas como uma escolha em indecisão com os valores da matriz de decisão seguinte:
Deus existe (G) Deus 2️⃣ não existe (¬G) Acreditar (B) +∞ (ganho infinito) −1 (perda finita - 1 vida) Não acreditar (¬B) −∞ (perda infinita) 2️⃣ +1 (ganho finito - 1 vida)
Assumindo estes valores, a opção de viver como se Deus existisse (B) supera a opção 2️⃣ de viver como se Deus não existisse (¬B),desde que se assuma a possibilidade da existência de Deus.
Noutras palavras, o valor 2️⃣ esperado de se escolher B é maior ou igual àquele de escolher ¬B.
A perspectiva do ganho infinito é suficiente para 2️⃣ Pascal fazer seu ponto, como ele afirma:...
Mas existe aqui uma infinidade em uma vida infinitamente feliz a se ganhar, uma 2️⃣ chance de ganho contra um número finito de chances de perda, e aquilo que você aposta é finito.
Tudo é dividido; 2️⃣ aonde quer que esteja o infinito, não existe um número infinito de chances de perda contra a chance de ganho, 2️⃣ não há tempo para hesitar, você deve apostar tudo.
[ 2 ] Tradução por Rafael S.T.
Vieira Pensées Secão III nota 233, 2️⃣ página 39,Tradução por Rafael S.T.Vieira
De fato, de acordo com teoria da decisão, o único valor que importa na matriz acima 2️⃣ é o +∞ (infinito não negativo).
Qualquer matriz do seguinte tipo (em que f 1 , f 2 , and f 2️⃣ 3 são todos números finitos positivos ou negativos) resultam em (B) ser a única escolha racional.
[1] Jeff Jordan argumenta que 2️⃣ a aposta também pode ser reescrita como uma tabela de decisão sem considerar os valores infinitos,[3] e segundo Edward McClenen 2️⃣ existem, na verdade, 4 versões diferentes para o argumento em Pensées.[3]
Deus existe (G) Deus não existe (¬G) Crença (B) +∞ 2️⃣ f 1 Descrença (¬B) f 2 f 3
As críticas à teoria de Pascal foram constantes desde a jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix primeira publicação.
Vieram 2️⃣ de todos os cantos religiosos, aos ateístas que questionavam os "benefícios" de uma divindade que estaria para além dos limites 2️⃣ da razão, e dos religiosos ortodoxos que tomaram desgosto á linguagem deística e agnóstica da aposta.
É criticada por não provar 2️⃣ a existência de Deus, encorajar a acreditarmos falsamente, e escala o problema de qual Deus seria mais favorável venerar.
Argumento do 2️⃣ Apelo ao Medo [ editar | editar código-fonte ]
Alguns documentos na internet argumentam que é uma falácia do tipo Argumentum 2️⃣ ad metum (ou Argumento pelo/do medo), uma vez que ela afirma que ao não se acreditar no Deus cristão, a 2️⃣ perda infinita implicaria ser severamente punido após a morte.
[4] Embora , o argumento é sem fundamento, pois Pascal prevê que 2️⃣ a decisão pela crença em Deus seja uma escolha baseada em chances e não motivada pelo medo.
O argumento de Pascal 2️⃣ não tem como objetivo provar que Deus existe ou não, mas convencer o descrente que é uma escolha razoável apostar 2️⃣ na jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix existência.
De fato, o uso do argumento do Apelo ao Medo por críticos apenas reforça a aposta de Pascal, 2️⃣ já que este afirma em Pensées:
Os homens desprezam a religião; eles a odeiam, e temem que ela seja verdade.
Para remediar 2️⃣ isto, nós devemos começar por mostrar que a religião é contrária a razão; que é venerável, para inspirar respeito a 2️⃣ ela; então devemos torná-la amável, para fazer com que bons homens esperem que seja verdade.
Finalmente, devemos provar que é verdade.
[ 2️⃣ 2 ] Tradução por Rafael S.T.
Vieira Pensées Secão III nota 187 página 31,Tradução por Rafael S.T.Vieira
Segundo Jeff Jordan[5] todo o 2️⃣ argumento de Pascal se estrutura na forma de uma aposta, uma decisão tomada em um momento de indecisão.
Ainda segundo ele, 2️⃣ Pascal assumia que uma pessoa, apenas pela virtude de estar neste mundo, está em uma situação de aposta, e esta 2️⃣ aposta envolve jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix vida sobre a existência ou não de Deus em um mundo em que Deus pode existir ou 2️⃣ não.
Argumento do Custo [ editar | editar código-fonte ]
Outro argumento contra o argumento de Pascal, é do Custo.
A aposta tentaria 2️⃣ nos levar a acreditar em Deus, com o pressuposto que isto é muito vantajoso você estando certo e insignificante se 2️⃣ estiver errado.
E o preço a pagar por crer não é insignificante, pois a pessoa pode precisar seguir líderes religiosos, seguir 2️⃣ dogmas e tradições, e contribuir financeiramente para manter a religião.
E mesmo que uma pessoa não tenha religião, mas mantenha fé 2️⃣ na existência de algum deus, esta fé poderá ter consequências.
Pode ser citado como exemplo o caso de Steve Jobs, que 2️⃣ era zen-budista e acreditava na ideia do pensamento mágico, e por isso, segundo seu biógrafo,[6] tomou uma decisão errada em 2️⃣ relação ao tratamento do seu câncer que levou a jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix morte.
[7] (contudo, existe quem afirme que muitos boatos foram criados 2️⃣ sobre jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix morte, e que ele recebia tratamento para jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix doença[8]).
Outro exemplo , é da filha do ex-jogador de futebol 2️⃣ ,Pelé, chamada Sandra Regina Machado, que se negou a receber tratamento médico, para seu câncer, pois tinha fé que jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix 2️⃣ cura seria milagrosa.
Seu médico afirmou que jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix cura era garantida se ela mantivesse o tratamento, mas jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix escolha por uma 2️⃣ cura pel fé a levou a óbito.
[9] Bob Marley deixou de amputar seu dedo do pé com câncer devido a 2️⃣ jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix religião, Rastafari, pois acreditava que o corpo é um templo que ninguém pode modificar.
O câncer se espalhou e o 2️⃣ levou a morte.[2]
O custo, contudo, de viver-se acreditando em Deus não é considerado na aposta, pois o objeto de aposta 2️⃣ é a jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix vida.
Quando Pascal fala em custo zero em jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix aposta, ele se refere ao custo referente a felicidade 2️⃣ (entre outros custos específicos que ele cita e lida) na nota 233: "E quanto a jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix felicidade? Vamos pesar o 2️⃣ ganho e perda em apostar que Deus existe.
Vamos estimar essas possibilidades.
Se você ganhar, você ganha tudo; se perder, você não 2️⃣ perde nada" E ao final de seu discurso na nota 233 ainda afirma:
-Agora, que danos podem cair sobre você ao 2️⃣ escolher seu lado?...
eu argumentaria que você irá ganhar nesta vida, e que cada passo nesta estrada, você terá cada vez 2️⃣ mais certeza do ganho, e muito mais ainda do vazio do que você aposta, que você irá ao menos reconhecer 2️⃣ que você apostou por algo certo e infinito, pelo qual você não precisou entregar nada.
Pensées Seção III nota 233, página 2️⃣ 40, Tradução por Rafael S.T.Vieira
O erro de Pascal neste argumento, é que não existe nenhum vestígio de que a intensidade 2️⃣ da felicidade seja menor entre os que não acreditam na existência de Deus.
Pode-se perceber que em jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix aposta, supõe-se que 2️⃣ o ganho infinito de apostar em Deus supera qualquer custo que possa existir em vida.
Pascal ainda argumenta que quanto mais 2️⃣ se dedica crer em Deus, menos se enxerga valor nos objetos do mundo, que são passageiros e portanto o custo 2️⃣ se torna insignificante.
Argumento dos Vários Deuses [ editar | editar código-fonte ]
Um dos argumentos usados contra Pascal é a objeção 2️⃣ dos Vários Deuses, e implica que o argumento de Pascal usa da falsa dicotomia, quando reconhece a existência de apenas 2️⃣ duas opções, acreditar ou não no deus cristão - ignorando, porém, que existem milhares de outros sistemas de crenças a 2️⃣ serem considerados como existentes ou não.
A crença no deus errado, de acordo com as religiões religiões do tipo monoteístas do 2️⃣ Oriente Médio (Islã, Cristianismo, Judaísmo), é punida da pior maneira possível, segundo as escrituras religiosas destas mesmas crenças.
Outro fato que 2️⃣ se considera, é a existência de "deuses não-documentados" com propriedades bem diferentes do que as estipuladas pelas Escrituras, também: onipresença, 2️⃣ onisciência, onipotência, benevolência etc.
Portanto, as chances de acertar, acreditando no Deus judaico-cristão como sendo o verdadeiro, são muito menores do 2️⃣ que o estipulado por Blaise Pascal, que é de 50%.
Se devidamente calculado a probabilidade fica próximo a 0%.
Em seu Pensée 2️⃣ 226,[10] Pascal não se aprofundou no assunto, dizendo que aqueles que argumentam sobre este ponto são céticos que se recusam 2️⃣ a buscar a verdade e se contentam em ficar de olhos fechados.
Jeff Jordan vai além, defendendo que não há como 2️⃣ formular a objeção dos Vários Deuses de forma a realmente refutar o argumento de Pascal.
[11] Robert Peterson argumenta que esta 2️⃣ objeção quando colocada no contexto da Aposta de Pascal se torna vazia, pois considera apenas 5 páginas de Pensées (com 2️⃣ a aposta) e esquece o restante das quase 300 páginas do livro (o número de páginas varia de acordo com 2️⃣ a tradução/edição), em que Pascal defende apenas o Deus cristão e dedica um capítulo exclusivo para falar da falsidade de 2️⃣ outras religiões.
Jeff Jordan ainda arguiu que ao se atribuir uma probabilidade quase nula a todos os outros Deuses, a probabilidade 2️⃣ de existência de Deus continua sendo 50% e cita o caso do lançamento de uma moeda[11]:...
Quando alguém lança uma moeda 2️⃣ considerada justa, é possível que ela aterrise em seu meio, continue suspensa no ar, desapareça, ou qualquer outro evento bizarro 2️⃣ aconteça.
Ainda assim, como não há nenhuma razão para acreditar que esses eventos são plausíveis, nós negligenciamos todas essas possibilidades e 2️⃣ consideramos apenas a chance da moeda aterrisar sobre o lado da cara ou o lado da coroa Jordan, Jeff.
"The Many-Gods 2️⃣ Objection" in Gambling On God, Tradução por Rafael S.T.Vieira
Apesar de plausível e lógico, este argumento ignora o fato de que 2️⃣ a aposta não trata de um fenômeno observável e mensurável, como o lançamento de uma moeda.
Todos os deuses e sistemas 2️⃣ de crenças diferentes são, por jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix natureza sobrenatural, inverificáveis, tornando desonesta esta comparação, pois a possibilidade uma moeda cair sobre 2️⃣ o lado ou desaparecer são baixíssimas, enquanto a chance de um outro deus existir é igual a chance do deus 2️⃣ cristão existir.
Outro aspecto importante que deve ser notado durante a leitura dos Pensées sobre as falsas religiões de Pascal é 2️⃣ que ele não submete o cristianismo ao mesmo grau de escrutínio e ceticismo com qual trata as demais religiões.
Argumento da 2️⃣ Crença Desonesta [ editar | editar código-fonte ]
Alguns críticos argumentam que a aposta de Pascal pode ser um argumento para 2️⃣ a Crença Desonesta.
Além disso, seria absurdo pensar que um Deus, justo e onisciente, não seria capaz de ver atrás da 2️⃣ estratégia da parte do "crente", portanto anulando os benefícios da aposta.[12]
Já que essas críticas não estão preocupadas com a validade 2️⃣ da aposta em si, mas com o possível resultado - uma pessoa que foi convencida pelo argumento e que ainda 2️⃣ não consiga acreditar sinceramente -, elas são consideradas tangenciais ao argumento.
Aquilo que estes críticos estão questionando é tratado posteriormente por 2️⃣ Pascal que oferece um conselho para o descrente que concluiu que o único método racional é apostar na existência de 2️⃣ Deus, já que apostar não o torna um crente.
Outros críticos arguem que Pascal ignorou que o tipo de caráter epistêmico 2️⃣ de Deus certamente valorizaria mais criaturas racionais se ele existisse.
Mais especificamente, Richard Carrier apontou uma definição alternativa de Deus que 2️⃣ prefere que suas criaturas sejam pesquisadoras honestas e reprova os métodos da Crença Desonesta:
Suponha que exista um Deus que está 2️⃣ nos observando e escolhendo que almas dos mortos deve trazer para o céu, e este Deus quer que apenas aqueles 2️⃣ que são moralmente bons habitem no céu.
Ele provavelmente vai selecionar somente aqueles que fizeram um esforço significante e responsável para 2️⃣ descobrir a verdade...
Portanto, apenas estas pessoas podem ser suficientemente morais e sinceras para merecer um lugar no paraíso - ao 2️⃣ não ser, que Deus deseje preencher o céu com os moralmente preguiçosos, irresponsáveis ou desonestos.
The End of Pascal's Wager: Only 2️⃣ Nontheists Go to Heaven [ 13 ]
Como já foi exibido acima, em nenhum ponto da aposta Pascal reforça a crença 2️⃣ desonesta; Deus, sendo onisciente, não sucumbiria a um truque e, oniscientemente, recompensaria o enganador.
Ao invés disso, depois de estabelecer jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix 2️⃣ aposta, Pascal refere-se a uma pessoa hipotética que já pesou irracionalmente a crença em Deus através da aposta e está 2️⃣ convencido da possibilidade, mas ainda não conseguiu acreditar.
De novo, como notado acima, Pascal oferece uma maneira de escapar do sentimento 2️⃣ que o compele a não crer em Deus depois que a validade da aposta tenha sido firmada.
Este caminho é através 2️⃣ da disciplina espiritual, estudo e comunidade.
Em termos práticos, portanto, o cenário alternativo em que Deus valoriza apenas a crença racional 2️⃣ e dúvida honesta que é proposta por Carrier e outros críticos não é realmente diferente do argumento de Pascal.
Na verdade, 2️⃣ Pascal é bastante incisivo em jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix crítica contra pessoas que são apáticas sobre considerar o problema da existência de Deus.
Em 2️⃣ teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados 2️⃣ nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência de 2️⃣ variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do 2️⃣ próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]
O 2️⃣ movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de 2️⃣ falência.
Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda 2️⃣ ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas 2️⃣ anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do próximo 2️⃣ evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do 2️⃣ presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do 2️⃣ jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.
Dobra-se 2️⃣ a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais comum 2️⃣ na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias 2️⃣ rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance 2️⃣ igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, 2️⃣ dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) 2️⃣ de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 2️⃣ 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se ganharmos, 2️⃣ ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda 2️⃣ da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias 2️⃣ de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que 2️⃣ o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador dobrar 2️⃣ jogos de ganhar dinheiro de verdade no pix aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de 2️⃣ um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a 2️⃣ possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo 2️⃣ certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a 2️⃣ quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem 2️⃣ matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode 2️⃣ ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul 2️⃣ Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por 2️⃣ Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph 2️⃣ Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição básica 2️⃣ de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) 2️⃣ X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n 2️⃣ {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( X 2️⃣ n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots 2️⃣ ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]
Sequências 2️⃣ martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 2️⃣ , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 2️⃣ , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) < 2️⃣ ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X 2️⃣ n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação 2️⃣ ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t 2️⃣ {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( Y 2️⃣ t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle \mathbf 2️⃣ {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer 2️⃣ observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual 2️⃣ à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo estocástico 2️⃣ Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração 2️⃣ Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade 2️⃣ subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ 2️⃣ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau 2️⃣ }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t 2️⃣ , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + ∞ ; 2️⃣ {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s
E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) = 2️⃣ 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento 2️⃣ F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ s 2️⃣ ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]
É 2️⃣ importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os 2️⃣ valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não em 2️⃣ relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo de 2️⃣ Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]
Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de 2️⃣ dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com 2️⃣ que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.
A cada iteração, uma 2️⃣ bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.
Para qualquer cor dada, a fração das 2️⃣ bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que 2️⃣ a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato 2️⃣ de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número 2️⃣ de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi jogada 2️⃣ Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n 2️⃣ = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for 2️⃣ jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
No caso de um martingale de Moivre, suponha que a 2️⃣ moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n + 2️⃣ 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}
Y n = ( q 2️⃣ / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} 2️⃣ {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ Y 2️⃣ n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ] = p ( q / p ) X 2️⃣ n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / p 2️⃣ ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p ) 2️⃣ X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X n 2️⃣ = ( q / p ) X n = Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de verossimilhança 2️⃣ em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...
, 2️⃣ X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}
Y n = ∏ i = 1 n g 2️⃣ ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g 2️⃣ {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n 2️⃣ : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que uma ameba se divide em duas amebas 2️⃣ com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 2️⃣ 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então
{ r X n : 2️⃣ n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é um martingale em relação a { X 2️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma série martingale criada por software.
Em uma comunidade 2️⃣ ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número 2️⃣ de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como 2️⃣ uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { N 2️⃣ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N 2️⃣ t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ 2️⃣ editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação atual 2️⃣ X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 2️⃣ 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à 2️⃣ expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo 2️⃣ das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ 2️⃣ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq 2️⃣ t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} 2️⃣ , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.
Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle 2️⃣ W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também 2️⃣ é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , .
.
.
2️⃣ {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n 2️⃣ ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 2️⃣ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle 2️⃣ {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 2️⃣ ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 2️⃣ X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, um 2️⃣ supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n ] 2️⃣ ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X 2️⃣ t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau 2️⃣ }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 2️⃣ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} 2️⃣ E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e supermartingales 2️⃣ [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto 2️⃣ um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e 2️⃣ perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com 2️⃣ probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 2️⃣ {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela 2️⃣ desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o 2️⃣ que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada [ 2️⃣ editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2️⃣ 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que 2️⃣ para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} 2️⃣ depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .
A 2️⃣ intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até 2️⃣ o momento e dizer se é hora de parar.
Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que um 2️⃣ apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode 2️⃣ deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base 2️⃣ no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas 2️⃣ que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t 2️⃣ + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico 2️⃣ do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo 2️⃣ acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma das 2️⃣ propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e 2️⃣ τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t 2️⃣ > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau 2️⃣ }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, 2️⃣ por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em 2️⃣ um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
